SylabUZ

Wygeneruj PDF dla tej strony

Algebra liniowa 1 - opis przedmiotu

Informacje ogólne
Nazwa przedmiotu Algebra liniowa 1
Kod przedmiotu 11.1-WK-MATP-AL1-Ć-S14_pNadGenEIR82
Wydział Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Kierunek Matematyka
Profil ogólnoakademicki
Rodzaj studiów pierwszego stopnia z tyt. licencjata
Semestr rozpoczęcia semestr zimowy 2019/2020
Informacje o przedmiocie
Semestr 1
Liczba punktów ECTS do zdobycia 6
Typ przedmiotu obowiązkowy
Język nauczania polski
Sylabus opracował
  • dr hab. Krzysztof Przesławski, prof. UZ
Formy zajęć
Forma zajęć Liczba godzin w semestrze (stacjonarne) Liczba godzin w tygodniu (stacjonarne) Liczba godzin w semestrze (niestacjonarne) Liczba godzin w tygodniu (niestacjonarne) Forma zaliczenia
Ćwiczenia 45 3 - - Zaliczenie na ocenę
Wykład 45 3 - - Egzamin

Cel przedmiotu

Zapoznanie studenta z podstawowymi strukturami algebraicznymi: ciało, grupa, przestrzeń liniowa.

Wymagania wstępne

Znajomość algebry w zakresie szkoły średniej.

Zakres tematyczny

Wykład

Ciała

  1. Ciała liczbowe. (2 godz.)
  2. Działania. Aksjomaty ciała. (2 godz.)
  3. Ciało funkcji wymiernych. (1 godz.)
  4. Ciało reszt modulo p — małe twierdzenie Fermata. (3 godz.)
  5. Izomorfizmy ciał; automorfizmy. Charakterystyka ciała. (2 godz.)
  6. Liczby zespolone: sprzężenie, moduł, postać trygonometryczna, interpretacja geometryczna działań, wzory de Moivre’a, pierwiastkowanie liczb zespolonych. (4 godz.)
  7. Zasadnicze twierdzenie algebry. Liczby algebraiczne. Liczby przestępne. (informacyjnie) (1 godz.)
  8. Ciała nieprzemienne: kwaterniony. (informacyjnie, z poleceniem rozszerzenia wiedzy na podstawie podręcznika oraz materiałów do wykładu) (1 godz.)

Permutacje

  1. Definicja grupy; przykłady. (1 godz.)
  2. Znak permutacji; podgrupa alternująca. (2 godz)
  3. Rozkład permutacji na cykle rozłączne i na transpozycje. (1 godz.)

Przestrzenie liniowe

  1. Definicja przestrzeni liniowej; przykłady. (1 godz.)
  2. Liniowa niezależność; powłoka liniowa; baza; twierdzenie Steinitza o wymianie; wymiar.
  3. Odwzorowania liniowe; przestrzeń liniowa homomorfizmów liniowych; izomorfizm przestrzeni liniowych; macierze odwzorowań liniowych w przestrzeniach ciągów; mnożenie macierzy a składanie odwzorowań liniowych; algebry nad ciałem — algebry endomorfizmów liniowych. (3 godz.)
  4. Twierdzenie o rzędzie; jądro i obraz odwzorowania liniowego. (3 godz.)
  5. Macierze odwzorowań liniowych w dowolnych bazach; zamiana układu współrzędnych. (2 godz.)
  6. Przestrzeń sprzężona; baza dualna; izomorfizm naturalny drugiej przestrzeni sprzężonej z wyjściową; odwzorowanie liniowe sprzężone; macierz transponowana (4 godz.)

Wyznaczniki

  1. Wyznacznik macierzy kwadratowej; liniowość i antysymetryczność wyznacznika. (3 godz.)
  2. Wzór Cauchy’ego; wyznacznik endomorfizmu liniowego. (2 godz.)
  3. Wzory Laplace’a na rozwinięcie wyznacznika; wzór na odwrotność macierzy. (2 godz.)
  4. Pełna grupa liniowa; specjalna grupa liniowa; grupa macierzy górnotrójkątnych (1 godz.)

Ćwiczenia

Ciała

  1. Liczby wymierne i niewymierne – przykłady. Ciała liczbowe – przykłady. (3 godz.)
  2. Działania dwuargumentowe i ich własności. (1 godz.)
  3. Rachunek modularny – tabelki działań, wyznaczanie elementów odwrotnych; współczynniki dwumianowe (zadania z wykorzystaniem indukcji matematycznej); zastosowania małego twierdzenia Fermata. (2 godz.)
  4. Operacje na liczbach zespolonych: wyznaczanie iloczynu i elementu odwrotnego; sprowadzanie do postaci kanonicznej. (2 godz.)
  5. Wyznaczanie argumentu i modułu. Wyznaczanie pierwiastków. (2godz.)
  6. Rozwiązywanie równań o współczynnikach zespolonych. (2 godz.)
  7. Kolokwium. (2 godz.)

Permutacje

  1. Wyznaczanie iloczyn permutacji, permutacji odwrotnej. Rozkład permutacji na cykle i na transpozycje. Znak permutacji. (4 godz.)

Przestrzenie liniowe

  1. Przykłady przestrzeni liniowych; podprzestrzenie. (4 godz.)
  2. Sprawdzanie warunków liniowej niezależności, wyznaczanie baz (4 godz.)
  3. Obliczanie wartości odwzorowania liniowego. Wyznaczanie jądra i obrazu w prostych przypadkach. (4 godz.)
  4. Kolokwium (2 godz.)
  5. Wyznaczanie rzędu macierzy – algorytm (2 godz.)
  6. Wyznaczanie macierzy odwrotnej – algorytm . (1 godz.)

Wyznaczniki

  1. Zastosowanie wyznaczników 2x2 – wzór na pole równoległoboku i trójkąta. (2 godz.)
  2. Wyznaczniki 3x3 – objętość równoległościanu. (2 godz.)
  3. Zastosowanie poznanych twierdzeń w obliczaniu wyznaczników o dużych rozmiarach. (4 godz.)
  4. Kolokwium (2 godz.)

 

Dopuszcza się, by tematy dotyczące układów równań liniowych, które mają być realizowane w ramach zajęć z algebry liniowej 2, były częściowo realizowane na zajęciach z algebry liniowej 1.

Metody kształcenia

Tradycyjny wykład; ćwiczenia audytoryjne, w ramach których studenci rozwiązują zadania.

Efekty uczenia się i metody weryfikacji osiągania efektów uczenia się

Opis efektu Symbole efektów Metody weryfikacji Forma zajęć

Warunki zaliczenia

Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu. Egzamin składa się z kilkunastu zadań. Na jedno zadanie składa się kilka stwierdzeń, których prawdziwość należy rozstrzygnąć. Dla wybranych stwierdzeń należy podać uzasadnienie: ,,To stwierdzenie jest prawdziwe (fałszywe), bo...” Forma egzaminu może ulec zmianie.

Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń.

Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (40%), ocena z egzaminu (60%). Prowadzący może podnieść ocenę o pół stopnia, jeśli uzna, że student na to zasługuje (np. ponadprzeciętne zaangażowanie studenta; interesujące rozwiązanie zadania itp.).

Literatura podstawowa

  1. Aleksiej I. Kostrikin, Wstęp do algebry, t. 1 i 2, PWN, Warszawa 2004.
  2. Zbiór zadań z algebry, red. Aleksiej I. Kostrikin, PWN, Warszawa 2005.

Literatura uzupełniająca

  1. Andrzej Białynicki_Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976
  2. Jacek Gancarzewicz, Algebra liniowa i jej zastosowania, Wyd. Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2004.

Uwagi


Zmodyfikowane przez dr Robert Dylewski, prof. UZ (ostatnia modyfikacja: 17-09-2019 12:49)