Zapoznanie studenta z podstawowymi pojęciami analizy matematycznej: zbieżność ciągu i szeregu, granica, ciągłość i pochodna funkcji, a także ze związkami między tymi pojęciami.
Wymagania wstępne
Znajomość matematyki w zakresie szkoły ponadgimnazjalnej.
Zakres tematyczny
Wykład
I. Liczby rzeczywiste i zespolone
Aksjomatyka liczb rzeczywistych. Kresy (4 godz.)
Pierwiastek liczby nieujemnej (2 godz.)
Liczby zespolone (4 godz.)
Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych (1 godz.)
II. Funkcje elementarne I
Wielomiany i funkcje wymierne. Funkcje potęgowe zmiennej rzeczywistej o wykładniku wymiernym (1 godz.)
Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej. Postać trygonometryczna liczby zespolonej (3 godz.)
III. Ciągi i szeregi liczbowe
Ciągi liczbowe i ich zbieżność. Ciągi ograniczone. Warunek Cauchy’ego (2 godz.)
Obliczanie granic ciągów (3 godz.)
Granica górna i granica dolna ciągu (1 godz.)
Szeregi liczbowe – podstawy (3 godz.)
Szeregi o wyrazach nieujemnych. Kryteria porównawcze. Kryteria Cauchy’ego i d’Alemberta (4 godz.)
Zbieżność bezwzględna, bezwarunkowa i warunkowa. Twierdzenie Riemanna (2 godz.)
Funkcje wykładnicze. Funkcje logarytmiczne zmiennej rzeczywistej (2 godz.)
Funkcje potęgowe zmiennej rzeczywistej (1 godz.)
Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne (2 godz.)
VII. Funkcje monotoniczne i wypukłe
Funkcje monotoniczne (2 godz.)
Funkcje wypukłe (informacyjnie; część materiału, wskazana przez wykładowcę, winna być opanowana przez studenta samodzielnie, na podstawie materiałów wskazanych przez prowadzącego) (1 godz.)
VIII. Elementarny rachunek różniczkowy I
Pochodna i jej interpretacja. Różniczkowalność funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Podstawowe wzory związane z pochodnymi. Pochodne funkcji elementarnych (3 godz.)
Twierdzenia o wartości średniej Rolle’a, Cauchy’ego i Lagrange’a. Charakteryzacja monotoniczności (2 godz.)
Reguła de L’Hospitala (1 godz.)
Pochodne wyższych rzędów i wzór Taylora (2 godz.)
Ćwiczenia
I. Liczby rzeczywiste i zespolone
Stosowanie aksjomatów zbioru liczb rzeczywistych w prostych dowodach (2 godz.)
Poznawanie podstawowych własności zbiorów liczb wymiernych i niewymiernych. Wyznaczanie kresów zbiorów liczb rzeczywistych (3 godz.)
Zaznaczanie zbiorów liczb zespolonych na płaszczyźnie. Operacje na liczbach zespolonych. Rozwiązywanie równań algebraicznych w dziedzinie zespolonej (2 godz.)
II. Funkcje elementarne I
Przykłady pojawiania się funkcji elementarnych w prostych zagadnieniach poza matematyką (1 godz.)
Znajdowanie postaci trygonometrycznej liczby zespolonej. Wyznaczanie pierwiastków liczb zespolonych (2 godz.)
III. Ciągi i szeregi liczbowe
Badanie zbieżności ciągów liczbowych przy użyciu definicji (2 godz.)
Badanie zbieżności poprzez warunek Cauchy’ego (1 godz.)
Badanie zbieżności ciągów monotonicznych i ograniczonych (2 godz.)
Ciągi rekurencyjne. Zastosowanie twierdzenia o trzech ciągach (1 godz.)
Ćwiczenie zastosowania kryterium Weierstrassa do badania zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych (1 godz.)
Wyznaczanie środka i promienia zbieżności szeregu potęgowego (3 godz.)
VI. Funkcje elementarne II
Własności funkcji wykładniczych i trygonometrycznych zmiennej zespolonej – ćwiczenie prostego dowodzenia rachunkowego (2 godz.)
Kolokwium (2 godz.)
VII. Funkcje monotoniczne i wypukłe
Badanie wypukłości funkcji przy użyciu definicji (1 godz.)
Dowodzenie pewnych nierówności poprzez sprawdzenie wypukłości stosownej funkcji (1 godz.)
VIII. Elementarny rachunek różniczkowy I
Obliczanie pochodnych z definicji. Badanie różniczkowalności. Wyznaczanie stycznej i normalnej do krzywej (5 godz.)
Stosowanie twierdzeń o wartości średniej, badanie monotoniczności funkcji różniczkowalnych, dowodzenie nierówności (3 godz.)
Obliczanie granic funkcji przy pomocy reguły de L’Hospitala (2 godz.)
Stosowanie wzoru Taylora do przybliżania wartości funkcji (2 godz.)
Kolokwium (2 godz.)
Metody kształcenia
Tradycyjny wykład; ćwiczenia, w ramach których studenci rozwiązują zadania i dyskutują, a także przygotowują notki biograficzne matematyków, których nazwiska pojawiają się na wykładzie; praca w grupach; praca z książką i przy pomocy internetu.
Efekty uczenia się i metody weryfikacji osiągania efektów uczenia się
Opis efektu
Symbole efektów
Metody weryfikacji
Forma zajęć
Warunki zaliczenia
Trzy kolokwia z zadaniami o zróżnicowanym stopniu trudności, pozwalającymi na sprawdzenie, czy student osiągnął efekty kształcenia w stopniu minimalnym.
Egzamin w postaci testu z progami punktowymi.
Ocena z przedmiotu jest średnią arytmetyczną oceny z ćwiczeń i oceny z egzaminu. Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu.
Literatura podstawowa
Witold Jarczyk, Notatki do wykładu z analizy matematycznej, http://www.wmie.uz.zgora.pl/~`wjarczyk/materialy.html
Witold Jarczyk, Zadania z analizy matematycznej, http://www.wmie.uz.zgora.pl/~`wjarczyk/materialy.html
Literatura uzupełniająca
Józef Banaś, Stanisław Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1993.
Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1986.
Walter Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2002.
Uwagi
Zmodyfikowane przez dr Robert Dylewski, prof. UZ (ostatnia modyfikacja: 17-09-2019 12:54)
Ta strona używa ciasteczek (cookies), dzięki którym nasz serwis może działać lepiej. Korzystając z niniejszej strony, wyrażasz zgodę na ich używanie. Dowiedz się więcej.