SylabUZ

Wygeneruj PDF dla tej strony

Algebra liniowa 2 - opis przedmiotu

Informacje ogólne
Nazwa przedmiotu Algebra liniowa 2
Kod przedmiotu 11.1-WK-MATP-AL2-Ć-S14_pNadGenINHLH
Wydział Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Kierunek Matematyka
Profil ogólnoakademicki
Rodzaj studiów pierwszego stopnia z tyt. licencjata
Semestr rozpoczęcia semestr zimowy 2019/2020
Informacje o przedmiocie
Semestr 2
Liczba punktów ECTS do zdobycia 6
Typ przedmiotu obowiązkowy
Język nauczania polski
Sylabus opracował
  • dr hab. Krzysztof Przesławski, prof. UZ
Formy zajęć
Forma zajęć Liczba godzin w semestrze (stacjonarne) Liczba godzin w tygodniu (stacjonarne) Liczba godzin w semestrze (niestacjonarne) Liczba godzin w tygodniu (niestacjonarne) Forma zaliczenia
Ćwiczenia 30 2 - - Zaliczenie na ocenę
Wykład 30 2 - - Egzamin

Cel przedmiotu

Po ukończeniu kursu algebry liniowej student powinien być przygotowany do samodzielnego studiowania zagadnień praktycznych i teoretycznych wymagających znajomości tego przedmiotu. Celem każdego studiującego powinno być opanowanie zalecanego podręcznika Kostrikina.

Wymagania wstępne

Zaliczona: Algebra liniowa 1.

Zakres tematyczny

Wykład

Układy równań liniowych

  1. Istnienie rozwiązań (2 godz.)
  2. Fundamentalny układ rozwiązań; wymiar przestrzeni rozwiązań. (2 godz.)
  3. Postać rozwiązania dla układu Ax=b, gdy A jest macierzą odwracalną. (1 godz.)
  4. Metoda eliminacji Gaussa. (1 godz.)
  5. Równanie charakterystyczne; wektor własny; wartość własna; przykład, zastosowania (3 godz.)

Rozkład Jordana

  1. Suma algebraiczna podprzestrzeni liniowych; suma prosta. (1 godz.)
  2. Endomorfizmy liniowe nilpotentne; klatki Jordana. Podprzestrzenie niezmiennicze endomorfizmu. (2 godz.)
  3. Rozkład Jordana endomorfizmu; postać Jordana macierzy endomorfizmu. (2 godz.)

Przestrzenie euklidesowe

  1. Twierdzenie cosinusów — geometryczna definicja iloczynu skalarnego; iloczyn skalarny we współrzędnych kartezjańskich i jego własności. (1 godz.)
  2. Formalna definicja iloczynu skalarnego; norma; nierówność Schwarza; kąt między wektorami, nierówność trójkąta, tożsamość równoległoboku. (2 godz.)
  3. Ortogonalność: twierdzenie Pitagorasa, baza ortonormalna (1 godz.)
  4. Procedura ortogonalizacyjna Grama–Schmidta, istnienie bazy ortonormalnej, rozkład wektora w bazie ortonormalnej, dopełnienie ortogonalne. (3 godz.)
  5. Izomorfizm przestrzeni euklidesowych; izomorfizm przestrzeni i jej dualnej (1 godz.)
  6. Odwzorowanie liniowe sprzężone; twierdzenie spektralne dla odwzorowań samosprzężonych. (3 godz.)

Formy wieloliniowe

  1. Odwzorowania wieloliniowe; formy wieloliniowe: formy skośne, formy symetryczne.
  2. Formy dwuliniowe symetryczne; macierz formy dwuliniowej w zadanym układzie współrzędnych.
  3. Diagonalizacja formy dwuliniowej; prawo bezwładności form dwuliniowych.
  4. Formy kwadratowe; formuła polaryzacyjna — odpowiedniość między formami dwuliniowymi a kwadratowymi; postać normalna formy kwadratowej. (5 godz.)

Ćwiczenia

Układy równań liniowych

  1. Sprawdzanie niesprzeczności układu równań (2 godz.)
  2. Wyznaczanie fundamentalnego układu rozwiązań metodą eliminacji Gaussa (2 godz.)
  3. Zadania na wartości własne (4 godz.)
  4. Kolokwium (2 godz)

Rozkład Jordana

  1. Proste przykłady. Informacja o pakietach do numerycznych. (2 godz.)

Przestrzenie euklidesowe

  1. Wyznaczanie kąta między wektorami. Sprawdzanie, czy dana forma jest iloczynem skalarnym. (2 godz.)
  2. Procedura ortogonalizacyjna Grama–Schmidta, wyznaczanie bazy ortonormalnej. Wyznacznik Grama i jego interpretacja geometryczna. (5 godz.)
  3. Kolokwium. (2 godz.)
  4. Diagonalizacja prostych odwzorowań samosprzężonych (4 godz.)

Formy wieloliniowe

  1. Macierz formy dwuliniowej; rozkład formy dwuliniowej na część skośną i symetryczną. (1 godz.)
  2. Szukanie postaci kanonicznej (normalnej) formy dwuliniowej i kwadratowej 2 godz.)

Kolokwium (2 godz.)

Metody kształcenia

Tradycyjny wykład; ćwiczenia audytoryjne, w ramach których studenci rozwiązują zadania.

Efekty uczenia się i metody weryfikacji osiągania efektów uczenia się

Opis efektu Symbole efektów Metody weryfikacji Forma zajęć

Warunki zaliczenia

Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu. Egzamin składa się z kilkunastu zadań. Na jedno zadanie składa się kilka stwierdzeń, których prawdziwość należy rozstrzygnąć. Dla wybranych stwierdzeń należy podać uzasadnienie: ,,To stwierdzenie jest prawdziwe (fałszywe), bo...” Forma egzaminu może ulec zmianie.

Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń.

Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (40%), ocena z egzaminu (60%). Prowadzący może podnieść ocenę o pół stopnia, jeśli uzna, że student na to zasługuje (np. ponadprzeciętne zaangażowanie studenta; interesujące rozwiązanie zadania itp.)

Literatura podstawowa

  1. Aleksiej I. Kostrikin, Wstęp do algebry, t. 1 i 2, PWN, Warszawa 2004.
  2. Zbiór zadań z algebry, red. Aleksiej I. Kostrikin, PWN, Warszawa 2005.

Literatura uzupełniająca

  1. Andrzej Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.
  2. Jacek Gancarzewicz, Algebra liniowa i jej zastosowania, Wyd. Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2004.

Uwagi


Zmodyfikowane przez dr Robert Dylewski, prof. UZ (ostatnia modyfikacja: 17-09-2019 13:13)