SylabUZ

Wygeneruj PDF dla tej strony

Algebra ogólna - opis przedmiotu

Informacje ogólne
Nazwa przedmiotu Algebra ogólna
Kod przedmiotu 11.1-WK-MATP-AO-W-S14_pNadGenCRRVT
Wydział Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Kierunek Matematyka
Profil ogólnoakademicki
Rodzaj studiów pierwszego stopnia z tyt. licencjata
Semestr rozpoczęcia semestr zimowy 2019/2020
Informacje o przedmiocie
Semestr 3
Liczba punktów ECTS do zdobycia 4
Typ przedmiotu obowiązkowy
Język nauczania polski
Sylabus opracował
  • dr Joanna Skowronek-Kaziów
Formy zajęć
Forma zajęć Liczba godzin w semestrze (stacjonarne) Liczba godzin w tygodniu (stacjonarne) Liczba godzin w semestrze (niestacjonarne) Liczba godzin w tygodniu (niestacjonarne) Forma zaliczenia
Wykład 30 2 - - Egzamin
Ćwiczenia 30 2 - - Zaliczenie na ocenę

Cel przedmiotu

Celem jest uzyskanie przez studenta umiejętności i kompetencji w zakresie kursu algebry abstrakcyjnej  (elementy teorii grup, pierścieni, ciał i krat).

Wymagania wstępne

Przystępujący do kursu Algebry ogólnej student powinien mieć opanowany materiał obejmujący Algebrę liniową 1 i 2.

Zakres tematyczny

Wykład

  1. Własności działań, struktury algebraiczne. Grupy, grupy abelowe, cykliczne, podgrupy, grupa permutacji, grupy torsyjne. Twierdzenie Cayleya i twierdzenie Lagrange’a. Momorfizmy grup, podgrupy normalne, kongruencje w grupach. Grupa ilorazowa, twierdzenie o izomorfizmie dla grup.  (8 godz.)
  2. Pierścienie, podpierścienie, ideały, kongruencje w pierścieniach, pierścień ilorazowy. Twierdzenie o izomorfizmie dla pierścieni, ideały główne, ideały pierwsze i maksymalne. Ciało, ciała skończone, ciała proste, ciało ułamków. (4 godz.)
  3. Pierścienie z jednoznacznością rozkładu, własności elementów w pierścieniu głównym i w pierścieniu euklidesowym,  elementy odwracalne, elementy pierwsze i elementy rozkładalne. Pierścień liczb całkowitych, twierdzenia o liczbach pierwszych, zasadnicze twierdzenie arytmetyki, przystawanie liczb całkowitych, Chińskie twierdzenie o resztach, Twierdzenie Eulera. (8 godz.)
  4. Pierścień wielomianów jednej i wielu zmiennych, pierwiastki wielomianów, Twierdzenie Bezout, rozkładalność wielomianu, twierdzenie Gaussa, kryterium Eisensteina-Shönemanna. Element algebraiczny względem ciała, wielomian minimalny. Rozszerzenia ciał. Ciało algebraicznie domknięte. Twierdzenie Hilberta o zerach. (6 godz.)
  5. Kraty, podkraty, krata podalgebr danej algebry ogólnej. Twierdzenie Dedekinda-Birkhoffa. Algebry Boole’a. (4 godz.)

Ćwiczenia

  1. Sprawdzanie własności  grup (cykliczność, abelowość, torsyjność), wyznaczanie podgrup danej grupy(twierdzenie Lagrange’a), wyznaczanie jądra homomorfizmu, znajdowanie dzielników normalnych danej grupy oraz jej obrazów homomorficznych poprzez konstrukcję odpowiednich grup ilorazowych (zastosowanie Twierdzenia o izomorfizmie dla grup), dowodzenie związków kongruencji w grupach z podgrupami normalnymi. (8 godz.)
  2. Wyznaczanie podpierścieni (podciał ) pierścienia (ciała) oraz badanie własności ideałów danego pierścienia, wyznaczanie obrazów homomorficznych pierścienia poprzez konstrukcję pierścieni ilorazowych. (4 godz.)
  3. Sprawdzanie, czy dany pierścień jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, pierścieniem głównym lub euklidesowym, wyznaczanie elementów odwracalnych, sprawdzanie czy dany element pierścienia jest elementem pierwszym lub rozkładalnym. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności elementów, przy zastosowaniu algorytmu Euklidesa, w pierścieniach euklidesowych. Wyznaczanie elementów odwrotnych w multyplikatywnej grupie C(n) elementów odwracalnych pierścienia Zn stosując rozszerzony algorytm Euklidesa, obliczanie rzędu grupy Φ(n)  poprzez obliczanie wartości funkcji Eulera dla liczby n. Chińskie twierdzenie o resztach w zadaniach. (8 godz.)
  4. Sprawdzanie czy element jest algebraiczny nad danym ciałem, sprawdzanie rozkładalności wielomianu w pierścieniach Z[x] i Q[x], znajdowanie rozszerzenia ciała oraz ciała rozkładu danego wielomianu. (6 godz.)
  5. Wyznaczanie (diagram Hasse’a) kraty podgrup normalnych (ideałów) danej grupy (pierścienia), wyznaczanie infimum i supremum zbioru elementów oraz elementów wyróżnionych dla tej kraty. Sprawdzanie, czy krata jest rozdzielna i modularna  stosując Twierdzenie Dedekinda-Birkhoffa o podkratach zabronionych. Sprawdzanie, czy krata jest algebrą Boole’a. (4 godz.)

 

Metody kształcenia

Wykłady: wykład konwencjonalny; wykład problemowy. Ćwiczenia: wspólne rozwiązywanie zadań związanych z tematyką przedmiotu, dowodzenie dodatkowych twierdzeń, ćwiczenia obrazujące zastosowanie teorii, rozwiązywanie zadań problemowych, dyskusja.

Efekty uczenia się i metody weryfikacji osiągania efektów uczenia się

Opis efektu Symbole efektów Metody weryfikacji Forma zajęć

Warunki zaliczenia

Na ocenę z ćwiczeń składają się wyniki osiągnięte na kolokwiach (80%) oraz aktywność na zajęciach (20%). Egzamin składa się z części pisemnej oraz ustnej ale warunkiem przystąpienia do części ustnej jest uzyskanie minimum 30% punktów z części pisemnej.

Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń 50%) oraz ocena z egzaminu (50%). Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu.

Literatura podstawowa

  1. A. Białynicki-Birula, Zarys algebry, BM tom 63, PWN, Warszawa, 1987.
  2. M. Bryński, Algebra dla studentów matematyki, PWN, Warszawa 1987.
  3. B. Gleichgewicht, Algebra, Oficyna GiS, 2002.
  4. J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa, 2000.

Literatura uzupełniająca

  1. G. Birkhoff, T.C. Bartee, Współczesna algebra stosowana, PWN, Warszawa, 1983.
  2. M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1985.
  3. A.I. Kostrykin, Wstęp do algebry, cz. I, III, PWN, Warszawa, 2005.
  4. R. Lidl, Algebra dla przyrodników i inżynierów, PWN, Warszawa 1983.
  5. A. Mostowski, M. Stark, Algebra wyższa, cz. I, II, III, PWN, 1966.

Uwagi


Zmodyfikowane przez dr Robert Dylewski, prof. UZ (ostatnia modyfikacja: 17-09-2019 13:22)