SylabUZ

Wygeneruj PDF dla tej strony

Geometria - opis przedmiotu

Informacje ogólne
Nazwa przedmiotu Geometria
Kod przedmiotu 11.1-WK-MATP-G-Ć-S14_pNadGenW6G9V
Wydział Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Kierunek Matematyka
Profil ogólnoakademicki
Rodzaj studiów pierwszego stopnia z tyt. licencjata
Semestr rozpoczęcia semestr zimowy 2016/2017
Informacje o przedmiocie
Semestr 3
Liczba punktów ECTS do zdobycia 5
Typ przedmiotu obowiązkowy
Język nauczania polski
Sylabus opracował
  • dr hab. Krzysztof Przesławski, prof. UZ
Formy zajęć
Forma zajęć Liczba godzin w semestrze (stacjonarne) Liczba godzin w tygodniu (stacjonarne) Liczba godzin w semestrze (niestacjonarne) Liczba godzin w tygodniu (niestacjonarne) Forma zaliczenia
Ćwiczenia 30 2 - - Zaliczenie na ocenę
Wykład 30 2 - - Egzamin

Cel przedmiotu

Przedmiotowi przyświecają dwa cele: wykształcenie umiejętności geometryzowania zadań matematycznych; rozwiązywanie zadań geometrycznych metodami algebraicznymi.

Wymagania wstępne

Zaliczona Algebra liniowa 2.

Zakres tematyczny

Wykład

Przestrzenie punktowe afiniczne i euklidesowe.

  1. Kombinacja afiniczna punktów; afiniczna niezależność; przykłady przestrzeni afinicznych; izomorfizm przestrzeni afinicznych; model standardowy przestrzeni afinicznej. Odwzorowania afiniczne. (4 godz.)
  2. Przekształcenia ortogonalne i ich macierze względem bazy ortonormalnej. Rozkład przestrzeni na minimalne podprzestrzenie niezmiennicze: obroty, odbicia. Postać kanoniczna macierzy odwzorowania ortogonalnego. Orientacja przestrzeni. Euklidesowe przestrzenie punktowe: odległość, kula, klasyfikacja izometrii; (8 godz.)
  3. Podprzestrzenie afiniczne: hiperpłaszczyzna, prosta. Szczególne podzbiory przestrzeni afinicznej: odcinki, zbiory wypukłe, sympleksy. Punkty w położeniu ogólnym. Uwypuklenie zbioru, wielościany jako uwypuklenia zbiorów skończonych, twierdzenie Caratheodory’ego. Twierdzenie Radona, twierdzenie Helly’ego. (6 godz.)
  4. Półprzestrzenie; geometryczna interpretacja układu równań (nierówności) liniowych; prostopadłościan, równoległościan. (2 godz.)
  5. Domknięty zbiór wypukły; odległość punktu od zbioru wypukłego, od hiperłaszczyzny. (2 godz.)
  6. Objętości wybranych zbiorów – objętość równoległościanu, sympleksu; nierówność Brunna-Minkowskiego, elipsoida Johna (informacyjnie, o ile będzie czas). (4 godz.)

Hiperpowerzchnie kwadratowe

  1. Klasyfikacja stożkowych i kwadryk (4 godz.)

Ćwiczenia

  1. Elementy geometrii sferycznej, wielościany sferyczne (wzory do wyprowadzenia w formie ćwiczeń). Wzór Eulera dla wielościanów wypukłych i sferycznych. Zastosowania. (4 godz.)
  2. Klasyfikacja przekształceń ortogonalnych przestrzeni dwu- i trójwymiarowej, składanie przekształceń ortogonalnych. Sprowadzanie macierzy ortogonalnej do postaci kanonicznej. Składanie izometrii płaszczyzny i przestrzeni (7 godz.)
  3. Zastosowania twierdzenia Helly’ego. (2 godz.)
  4. Wyznaczanie odległości punktu od zbioru. (2 godz.)
  5. Wyznaczanie sumy Minkowskiego pary figur wypukłych i szacowanie ich pola – nierówność izoperymetryczna. (2 godz.)
  6. Twierdzenie Minkowskiego o punktach kratowych (dowód rozpisany w formie ćwiczeń); zastosowania (3 godz.)
  7. Omówienie esejów (2 godz.)
  8. Nieformalne wprowadzenie do charakterystyki Eulera – obliczanie charakterystyki Eulera wybranych zbiorów. (2 godz.)
  9. Badanie stożkowych i kwadryk (4 godz.)
  10. Kolokwium (2 godz.)

Ćwiczenia nie podążają wiernie za wykładem, ale zawierają często inne treści. Mają one wdrożyć studentów do myślenia geometrycznego, a także do samodzielnego przeprowadzania rozumowań.

Metody kształcenia

Tradycyjny wykład. Ćwiczenia problemowe wspomagane środkami audiowizualnymi.
Prezentacje przygotowane przez studentów względnie eseje (praca w zespołach).

Efekty uczenia się i metody weryfikacji osiągania efektów uczenia się

Opis efektu Symbole efektów Metody weryfikacji Forma zajęć

Warunki zaliczenia

Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu. Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (50%), ocena z egzaminu (50%). Prowadzący może podnieść tę ocenę w uznaniu za szczególne zasługi studenta.

Literatura podstawowa

  1. Aleksiej I. Kostrikin, Wstęp do algebry, t. 2, PWN, Warszawa 2004.
  2. M. Aigner, G. M. Ziegler, Dowody z Księgi, PWN, Warszawa 2002.

Literatura uzupełniająca

  1. Andrzej Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.
  2. Jacek Gancarzewicz, Algebra liniowa i jej zastosowania, Wyd. Uniw. Jagiellońskiego, Kraków 2004.
  3. J. Matoušek, Lectures on discrete geometry, Springer, 2002.
  4. H. Hopf, Differential Geometry in the Large, LNM 1000, Springer, 1989.

Uwagi


Zmodyfikowane przez dr Alina Szelecka (ostatnia modyfikacja: 25-09-2016 09:53)