1. SylabUZ
2. Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
3. semestr zimowy 2017/2018
4. Matematyka - pierwszego stopnia z tyt. licencjata
5. Topologia

Wygeneruj PDF dla tej strony

Topologia - opis przedmiotu

Cel przedmiotu

Zapoznanie studentów z podstawowymi pojęciami topologii przestrzeni metrycznych: przestrzeń metryczna, zbieżność ciągu, granica i ciągłość funkcji, ośrodkowość, zwartość, zupełność i spójność przestrzeni metrycznej.

Wymagania wstępne

Zapisz zmiany

Znajomość postaw teorii mnogości i analizy matematycznej.

Zakres tematyczny

Wykład

Przestrzenie metryczne

1. Podstawowe własności i przykłady przestrzeni metrycznych. Przestrzenie funkcyjne. (2 godz.)
2. Topologia wyznaczona przez metrykę. Baza przestrzeni metrycznej. Układ otoczeń. Wnętrze i domknięcie zbioru. Zbiory otwarte i domknięte. (2 godz.)
3. Zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych. Porównywanie metryk. (1 godz.)
4. Podprzestrzenie przestrzeni metrycznych. Iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych. (2 godz.)
5. Różne rodzaje zbiorów w przestrzeniach metrycznych. (1 godz.)
6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe – podstawowe własności i przykłady (1 godz.).

Przekształcania ciągłe przestrzeni metrycznych

1. Przekształcania ciągłe i ich charakteryzacje. Przekształcenia jednostajnie ciągłe. (3 godz.)
2. Homeomorfizmy i izometrie przestrzeni metrycznych. Niezmienniki topologiczne. (1 godz.)
3. Zbieżność ciągów funkcyjnych. (1 godz.)

Przestrzenie metryczne zupełne

1. Przestrzenie zupełne. Podstawowe własności i przykłady. (2 godz.)
2. Uzupełnienie przestrzeni metrycznych.(1 godz.)
3. Twierdzenie Baire’a o kategoriach. Metoda kategorii Baire’a. (1 godz.)
4. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym.(1 godz.)

Przestrzenie metryczne zwarte

1. Przestrzenie zwarte. Podstawowe własności i przykłady. (2 godz.)
2. Charakteryzacje zwartych przestrzeni metrycznych. Twierdzenie Borela-Lebesgue’a (2 godz.)
3. Produkt kartezjański przestrzeni zwartych. (1 godz.)
4. Charakteryzacja  zbiorów zwartych w przestrzeni Euklidesowej (1 godz.)
5. Własności przekształceń ciągłych na zwartych przestrzeniach metrycznych. Twierdzenie Weierstrassa. (3 godz.)

Przestrzenie metryczne spójne i łukowo spójne

1. Przestrzenie spójne. Podstawowe własności i przykłady. (1 godz.)
2. Własności przekształceń ciągłych na spójnych przestrzeniach metrycznych. (1 godz.)

Ćwiczenia

Przestrzenie metryczne

1. Podstawowe własności metryk. Przestrzenie Euklidesowe i przestrzenie funkcyjne. (2 godz.)
2. Sprawdzanie warunków metryki w konkretnych przestrzeniach funkcyjnych. (3 godz.)
3. Porównywanie różnych metryk na płaszczyznie. (2 godz.)
4. Badanie produktów kartezjańskich przestrzeni metrycznych. (2 godz.)
5. Operacje na zbiorach w przestrzeni metrycznej, np. wyznaczanie wnętrza i domknięcia zbiorów dla różnych metryk. (4 godz.)
6. Badanie zbieżności i punktów skupienia ciągów w przestrzeniach metrycznych. (2 godz.)
7. Wyznaczanie różnych własności zbiorów w przestrzeniach metrycznych. (2 godz.)
8. Kolokwium. (2 godz.)

Przekształcenia ciągłe

1. Badanie ciągłości i jednostajnej ciągłości funkcji na przestrzeniach funkcyjnych. (4 godz.)
2. Badanie zbieżności ciągów w przestrzeniach funkcyjnych. (2 godz.)

Własności topologiczne podstawowych klas przestrzeni metrycznych

1. Badanie zupełności funkcyjnych przestrzeni metrycznych. (2 godz.)
2. Charakteryzacja zbiorów zwartych i spójnych w przestrzeniach metrycznych  3 godz.)
3. Kolokwium. (2 godz.)

Metody kształcenia

Wykład konwencjonalny. Ćwiczenia audytoryjne , rozwiązywanie problemów i zadań.

Efekty uczenia się i metody weryfikacji osiągania efektów uczenia się

Opis efektu	Symbole efektów	Metody weryfikacji	Forma zajęć

Warunki zaliczenia

1. Kolokwia o zróżnicowanym stopniu trudności, pozwalające sprawdzić stopień opanowania poszczególnych efektów kształcenia.
2. Egzamin polega na sprawdzeniu rozumienia podstawowych pojęć , wskazania  przykładów oraz sprawdzenia znajomości dowodów  wskazanych twierdzeń.

Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (40%) oraz ocena z egzaminu (60%).

Warunkiem do przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu.

Literatura podstawowa

1. S. Gładysz, Wstęp do topologii, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1981.
2. W. Rzymowski, Przestrzenie metryczne w analizie, Wyd. UMSC, Lublin 2000.
3. J. Jędzejewski , W. Wilczyński, Przestrzenie metryczne w zadaniach , Wyd. UŁ. Łódź 2007.

Literatura uzupełniająca

1. J. Jędrzejewski, Zarys teorii przestrzeni metrycznych, Wydawnictwo WSP Słupsk, 1999.
2. A. W. Archangielski , W. I. Ponomariow, Podstawy topologii ogólnej w zadaniach, PWN, Warszawa 1986.

Uwagi

Zmodyfikowane przez dr Robert Dylewski, prof. UZ (ostatnia modyfikacja: 09-04-2017 16:24)