SylabUZ

Wygeneruj PDF dla tej strony

Topologia - opis przedmiotu

Informacje ogólne
Nazwa przedmiotu Topologia
Kod przedmiotu 11.1-WK-MATD-T-W-S14_pNadGenJ7AGB
Wydział Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Kierunek Matematyka
Profil ogólnoakademicki
Rodzaj studiów drugiego stopnia z tyt. magistra
Semestr rozpoczęcia semestr zimowy 2017/2018
Informacje o przedmiocie
Semestr 1
Liczba punktów ECTS do zdobycia 7
Typ przedmiotu obowiązkowy
Język nauczania polski
Sylabus opracował
  • dr hab. Andrzej Kisielewicz, prof. UZ
Formy zajęć
Forma zajęć Liczba godzin w semestrze (stacjonarne) Liczba godzin w tygodniu (stacjonarne) Liczba godzin w semestrze (niestacjonarne) Liczba godzin w tygodniu (niestacjonarne) Forma zaliczenia
Wykład 30 2 - - Egzamin
Ćwiczenia 30 2 - - Zaliczenie na ocenę

Cel przedmiotu

Zapoznanie studentów z podstawowymi pojęciami z zakresu topologii algebraicznej i geometrycznej.

Wymagania wstępne

Elementarna wiedza z zakresu topologii ogólnej.          

Zakres tematyczny

Wykład

Grupa podstawowa

  1. Topologia indukowana,  ilorazowa i  zwarto-otwarta (1 godz.)
  2. Homotopia odwzorowań (2 godz.)
  3. Retrakcje (1 godz.)
  4. Konstrukcja grupy podstawowej (3 godz.)
  5. Grupa podstawowa iloczynu kartezjańskiego (1godz.)
  6. Sympleksy i kompleksy symplicjalne  (2 godz.)
  7. Obliczanie grupy podstawowej (grupa krawędziowa) (2 godz.)
  8. Grupa podstawowa okręgu, torusa, sfery, płaszczyzny rzutowej (2 godz.)

    Twierdzenie Jordana o łamanej (dowód), twierdzenie Schoenfliesa dla łamanych (3 godz.)

    Topologia w sztuce – sfera Alexandera, jeziora Wady, sztuka M.C. Ecshera (2 godz.)

    Twierdzenie klasyfikacyjne powierzchni

  1. Powierzchnie (1/2 godz.)
  2. Wielościany (1/2 godz. )
  3. Triangulacja powierzchni (1 godz.)
  4. Dowód twierdzenia klasyfikacyjnego (2 godz. )

    Twierdzenie Borsuka-Ulama

  1. Równoważne formy twierdzenia Borsuka-Ulama (2 godz.)
  2. Lemat Tuckera i dowód twierdzenia Borsuka-Ulama (2 godz.)
  3. Twierdzenie o kanapkach (wraz z dowodem) (2 godz.)
  4. Twierdzenia o sprawiedliwym podziale (1 godz.)
  5. Dowód twierdzenia Brouwera o punkcie stałym w oparciu o twierdzenie Borsuka-Ulama (1 godz.)
  6. Informacje na temat lematu Spernera (1/2 godz.)

    Informacje na temat topologii różniczkowej i twierdzenia o zaczesywaniu sfery wymiaru parzystego

  1. Stopień odwzorowania  (1 godz.)

    Ćwiczenia

    Topologie

  1. Zadania dotyczące topologii (1 godz.)
  2. Przykłady (1 godz.)

    Homotopie

  1. Sprawdzanie homotopijności odwzorowań (1 godz.)
  2. Zadania dotyczące klas abstrakcji homotopii (2 godz.)
  3. Zadania dotyczące konstrukcji grupy podstawowej (3 godz.)
  4. Zadania dotyczące ściągalności (1 godz.)
  5. Obliczanie grupy podstawowej (3 godz.)

    Twierdzenie klasyfikacyjne

  1. Klasyfikowanie wybranych powierzchni w oparciu o dowód twierdzenia klasyfikacyjnego (2 godz.)
  2. Wyznaczanie triangulacji wybranych powierzchni (1 godz.)

    Twierdzenie Borsuka-Ulama

  1. Dowody wybranych form równoważnych (3 godz.)
  2. Twierdzenie o kanapkach w niskich wymiarach (1 godz.)
  3. Zadania wykorzystujące twierdzenie Borsuka-Ulama (2 godz.)
  4. Dowód lematu Spernera (2 godz.)
  5. Zadania o sprawiedliwym podziale (2 godz.)

    Twierdzenie o zaczesywaniu sfery  wymiaru parzystego (1 godz.)

    Zaliczenia (kolokwia i referaty) (4 godz.)

Metody kształcenia

Wykład konwencjonalny z naciskiem na wspólne dyskutowanie omawianych problemów. Na ćwiczeniach studenci wspólnie rozwiązują zadania (na ogół podane z tygodniowym wyprzedzeniem). Preferowane są dyskusje przy tablicy z udziałem wielu studentów. Zakłada się stały dostęp do sieci (wszelkie przykłady, zwłaszcza grafika, animacje).

Efekty uczenia się i metody weryfikacji osiągania efektów uczenia się

Opis efektu Symbole efektów Metody weryfikacji Forma zajęć

Warunki zaliczenia

  1. Warunkiem zaliczenia ćwiczeń jest pozytywna ocena z kolokwium. Dopuszcza się wygłoszenie referatu na temat topologii. Temat ma być wybrany samodzielnie przez studenta. Referaty mogą być opracowane przez grupę dwóch, trzech studentów. Temat referatu musi być zaakceptowany przez ogół studentów i prowadzącego ćwiczenia.
  2. Egzamin jest w formie pisemnej z możliwością dyskusji rozwiązań między egzaminatorem, a egzaminowanym studentem.

    Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (40%) oraz ocena z egzaminu (60%). Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu.

Literatura podstawowa

  1. Roman Duda, Wprowadzenie do topologii I, II, PWN, 1986.
  2. Jiri Matousek, Using the Borsuk-Ulam theorem, Springer, 2003.

Literatura uzupełniająca

  1. Jerzy Mioduszewski, Wykłady z topologii, Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994.
  2. John Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, 1997.

Uwagi


Zmodyfikowane przez dr Robert Dylewski, prof. UZ (ostatnia modyfikacja: 09-04-2017 16:04)