SylabUZ

Wygeneruj PDF dla tej strony

Równania różniczkowe - opis przedmiotu

Informacje ogólne
Nazwa przedmiotu Równania różniczkowe
Kod przedmiotu 11.1-WK-MATD-RR-W-S14_pNadGen1UWOF
Wydział Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Kierunek Matematyka
Profil ogólnoakademicki
Rodzaj studiów drugiego stopnia z tyt. magistra
Semestr rozpoczęcia semestr zimowy 2017/2018
Informacje o przedmiocie
Semestr 3
Liczba punktów ECTS do zdobycia 8
Typ przedmiotu obieralny
Język nauczania polski
Sylabus opracował
  • dr Tomasz Małolepszy
Formy zajęć
Forma zajęć Liczba godzin w semestrze (stacjonarne) Liczba godzin w tygodniu (stacjonarne) Liczba godzin w semestrze (niestacjonarne) Liczba godzin w tygodniu (niestacjonarne) Forma zaliczenia
Wykład 30 2 - - Egzamin
Laboratorium 15 1 - - Zaliczenie na ocenę
Ćwiczenia 15 1 - - Zaliczenie na ocenę

Cel przedmiotu

Zapoznanie studenta z teorią równań różniczkowych zwyczajnych ze szczególnym uwzględnieniem teorii jakościowych metod badań równań różniczkowych zwyczajnych.

Wymagania wstępne

Analiza matematyczna 1 oraz 2. Algebra liniowa 1 oraz 2. Pakiety matematyczne.

Zakres tematyczny

Wykład

  1. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. Podstawowe pojęcia. Interpretacja geometryczna równania różniczkowego. Równania różniczkowe całkowalne w kwadraturach.
  2. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań lokalnych zagadnień początkowych. Zagadnienie Cauchy’ego dla równań różniczkowych. Twierdzenia egzystencjalne (twierdzenie Picarda-Lindelöfa, twierdzenie Peano). Przedłużalność rozwiązań zagadnienia początkowego. Zależność rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego od danych początkowych i prawej strony równania.
  3. Równania różniczkowe wyższych rzędów. Typy równań sprowadzalnych do równań rzędu pierwszego. Równania liniowe drugiego rzędu. Zagadnienie brzegowe Sturma-Liouville’a.
  4. Interpretacja dynamiczna układów równań różniczkowych. Układy autonomiczne. Trajektorie fazowe i portrety fazowe. Potoki i orbity. Całki pierwsze.
  5. Układy równań różniczkowych liniowych. Metody rozwiązywania układów liniowych jednorodnych i niejednorodnych. Klasyfikacja i stabilność punktów osobliwych układów liniowych na płaszczyźnie. Portrety fazowe.
  6. Układy nieliniowych równań różniczkowych. Lokalne portrety fazowe. Linearyzacja, twierdzenie Grobmana-Hartmana. Klasyfikacja i stabilność punktów osobliwych układów nieliniowych na płaszczyźnie. Globalne portrety fazowe.
  7. Trajektorie okresowe i cykle graniczne. Zbiory graniczne. Twierdzenie Poincarégo-Bendixsona.
  8. Elementy teorii stabilności. Stabilność w sensie Lapunowa. Twierdzenie Hurwitza. Funkcja Lapunowa i podstawowe twierdzenia o stabilności.
  9. Bifurkacje i chaos. Bifurkacja Hopfa. Model Lorenza.
  10. Wybrane modele różniczkowe w fizyce, biologii, medycynie, ekonomii. Oscylator van der Pola. Układy równań typu Lotki-Volterry. Modele epidemiologiczne. Model Maya. Model Solowa i modele cyklu ekonomicznego.

Ćwiczenia

Rozwiązywanie zadań dotyczących treści przekazywanych na kolejnych wykładach ze szczególnym uwzględnieniem praktycznych zastosowań poznanych pojęć.

Laboratorium

Rozwiązywanie za pomocą pakietu matematycznego zadań związanych z równaniami różniczkowymi ze szczególnym uwzględnieniem aspektu numerycznego.

Metody kształcenia

Tradycyjny wykład; ćwiczenia, w ramach których studenci rozwiązują zadania; ćwiczenia laboratoryjne w pracowni komputerowej.

Efekty uczenia się i metody weryfikacji osiągania efektów uczenia się

Opis efektu Symbole efektów Metody weryfikacji Forma zajęć

Warunki zaliczenia

Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z laboratorium (20%), ćwiczeń (30%) oraz ocena z egzaminu (50%). Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń, zaś warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu. Zarówno o ocenie końcowej z ćwiczeń, jak i laboratorium decyduje suma punktów zdobyta podczas dwóch kolokwiów, złożonych z zadań o zróżnicowanym stopniu trudności. O ocenie z egzaminu, na który składają się pytania sprawdzające wiedzę teoretyczną studenta, decyduje suma punktów zdobytych za odpowiedzi na te pytania.

Literatura podstawowa

  1. A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne, WNT, Warszawa, 1999.
  2. W. I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975.
  3. D. K. Arrowsmith, C.M. Place, Ordinary differential equations, A qualitative approach with applications, Chapman and Hall, London, 1982.
  4. A. Pelczar, J. Szarski, Wstęp do równań różniczkowych zwyczajnych, PWN, Warszawa, 1987.
  5. N. M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych, PWN, Warszawa, 1986.

Literatura uzupełniająca

  1. L. S. Pontriagin, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1964.
  2. Ph. Hartman, Ordinary Differential Equations, Wiley, New York, 1964.

Uwagi


Zmodyfikowane przez dr Robert Dylewski, prof. UZ (ostatnia modyfikacja: 09-04-2017 16:04)