1. SylabUZ
2. Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
3. semestr zimowy 2018/2019
4. Matematyka - drugiego stopnia z tyt. magistra
5. Równania różniczkowe cząstkowe

Wygeneruj PDF dla tej strony

Równania różniczkowe cząstkowe - opis przedmiotu

Cel przedmiotu

Głównym celem tego przedmiotu jest nabycie przez studenta umiejętności rozwiązywania zagadnień początkowo-brzegowych dla liniowych równań różniczkowych I i II rzędu metodami charakterystyk, rozdzielania zmiennych, transformaty Fouriera oraz poznanie podstaw teorii przestrzeni Sobolewa i tzw. słabych sformułowań wyjściowych zagadnień dla równań różniczkowych cząstkowych.

Wymagania wstępne

Zapisz zmiany

Analiza matematyczna 1 i 2, Analiza funkcjonalna, Algebra liniowa.

Zakres tematyczny

Wykład

1. Podstawowe definicje - równania liniowe, semiliniowe, nieliniowe, zagadnienia Cauchy’ego, typy zagadnień brzegowych, powierzchnie charakterystyczne.
2. Równania rzędu pierwszego. Metoda charakterystyk. Metoda Lagrange’a. Twierdzenia Cauchy’ego-Kowalewskiej.
3. Równania rzędu drugiego. Klasyfikacja równań rzędu drugiego.
   Równania eliptyczne – podstawowe własności funkcji harmonicznych, rozwiązanie fundamentalne równania Laplace’a oraz Poissona, zasady maksimum, funkcja Greena dla równania eliptycznego.
   Równania paraboliczne - rozwiązanie fundamentalne zagadnienia Cauchy’ego dla równania przewodnictwa cieplnego, zasady maksimum, metoda rozdzielania zmiennych.
   Równania hiperboliczne – wzór d’Alemberta, wzory na rozwiązanie równania struny w yższych wymiarach, zasada Duhamela.
4. Transformata Fouriera i jej zastosowanie w teorii równań różniczkowych cząstkowych.
5. Elementy teorii przestrzeni Sobolewa.
   Słabe pochodne.
   Przestrzenie Sobolewa.
   Aproksymacja elementów przestrzeni Sobolewa funkcjami gładkimi.
   Ślad funkcji.
   Nierówności typu Sobolewa.
6. Słabe rozwiązania równań drugiego rzędu - metody Ritza oraz Galerkina.

Ćwiczenia

Rozwiązywanie zadań dotyczących treści przekazywanych na kolejnych wykładach ze szczególnym uwzględnieniem praktycznych zastosowań poznanych pojęć.

Laboratorium

Rozwiązywanie za pomocą pakietu matematycznego zadań związanych z równaniami różniczkowymi cząstkowymi.

Metody kształcenia

Tradycyjny wykład; ćwiczenia, w ramach których studenci rozwiązują zadania; ćwiczenia laboratoryjne w pracowni komputerowej.

Efekty uczenia się i metody weryfikacji osiągania efektów uczenia się

Opis efektu	Symbole efektów	Metody weryfikacji	Forma zajęć

Warunki zaliczenia

Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z laboratorium (25%), ćwiczeń (25%) oraz ocena z egzaminu (50%). Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń, zaś warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu. Zarówno o ocenie końcowej z ćwiczeń, jak i laboratorium decyduje suma punktów zdobyta podczas dwóch kolokwiów, złożonych z zadań o zróżnicowanym stopniu trudności. O ocenie z egzaminu, na który składają się pytania sprawdzające wiedzę teoretyczną studenta, decyduje suma punktów zdobytych za odpowiedzi na te pytania.

Literatura podstawowa

1. Warsztaty z Równań Różniczkowych Cząstkowych, pod red. naukowa prof. dr. hab. P. Bilera, Torun, 2003.
2. Evans, L., Równania różniczkowe cząstkowe, PWN, 2002.
3. Marcinkowska, H., Dystrybucje, przestrzenie Sobolewa, równania różniczkowe, PWN, 1993.

Literatura uzupełniająca

1. Strzelecki, P., Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych, Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2006.

Uwagi

Zmodyfikowane przez dr Robert Dylewski, prof. UZ (ostatnia modyfikacja: 25-04-2018 20:16)