1. SylabUZ
2. Filia Uniwersytetu Zielonogórskiego w Sulechowie
3. semestr zimowy 2021/2022
4. Energetyka. - pierwszego stopnia z tyt. inżyniera
5. Matematyka I

Wygeneruj PDF dla tej strony

Matematyka I - opis przedmiotu

Cel przedmiotu

Zapoznanie studenta z podstawowymi pojęciami analizy matematycznej: zbieżność ciągu i szeregu liczbowego, granica, ciągłość, pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej oraz związkami  zachodzącymi między tymi pojęciami. Kolejnym celem  jest zapoznanie z podstawowymi pojęciami rachunku całkowego funkcji jednej zmiennej.

Wymagania wstępne

Zapisz zmiany

Znajomość matematyki w zakresie podstawowym według opisu wymagań egzaminu maturalnego.

Zakres tematyczny

WYKŁADY

1. Elementy logiki matematycznej i teorii mnogości. Symbole logiczne, zdania, tautologie, kwantyfikatory. Zbiory, operacje na rodzinach zbiorów (przecięcia, sumy, różnice mnogościowe, iloczyn kartezjański).
2. Liczby zespolone (interpretacja geometryczna, sprzężenie, moduł i argument liczby zespolonej, postać trygonometryczna liczby zespolonej). Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych.
3. Relacje, odwzorowania. Relacje porządku, równoważności, odwzorowania, kresy na osi liczbowej. Zarys definicji liczb rzeczywistych. Złożenie, funkcje odwrotne.
4. Przegląd funkcji elementarnych (1). Funkcje potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne (definicje i podstawowe własności, wykresy).
5. Przegląd funkcji elementarnych (2). Funkcje trygonometryczne, cyklometryczne hiperboliczne i polowe (motywacja geometryczna i wzory analityczne).
6. Ciągi i ich granice. Ciągi jako odwzorowania, definicje rekurencyjne, granica ciągu, sposoby obliczania i twierdzenia o istnieniu.symbole nieoznaczone.
7. Arytmetyka granic, najważniejsze granice nieobjęte schematem takiej arytmetyki (symbole nieoznaczone). Podciągi zbieżne. Ciągi Cauchy’ego.
8. Granica funkcji (1).  Punkty skupienia. Granica funkcji w punkcie. Operacje arytmetyczne na granicach, granica złożenia. Warunek Heinego. Granice niewłaściwe i w nieskończoności.
9. Granica funkcji (2). Symbole nieoznaczone - ważniejsze przykłady granic. Granice jednostronne, klasyfikacja punktów nieciągłości. Przypadek funkcji monotonicznych.
10. Funkcje ciągłe. Warunek Lipschitza, ciągłość funkcji odwrotnych. Podstawowe własności funkcji ciągłych na przedziale.
11. Pochodne Definicja i interpretacje: geometryczna i fizyczna. Pochodne sumy, iloczynu i ilorazu. Pochodne jednostronne. Przykłady. Obliczanie pochodnych. Pochodne funkcji elementarnych, ich złożeń i funkcji odwrotnych.
12. Zastosowania pochodnych Twierdzenia o wartości średniej monotoniczność, ekstrema lokalne. Reguła de l’Hospitala
13. Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora, badanie przebiegu funkcji.
14. Całki nieoznaczone. Całkowanie przez części i przez podstawienie, najważniejsze całki elementarne
15. Wybrane typy całek. Całkowanie funkcji wymiernych, funkcji trygonometrycznych i niewymiernych. Całki niewłaściwe.

ĆWICZENIA

1. Podstawy logiki i teorii mnogości. Zapoznanie się z podstawowymi metodami rozumowań matematycznych, dowodzenia twierdzeń. Opis zbiorów i operacji na zbiorach wyrażonych przy użyciu spójników logicznych. Weryfikacja przykładowych zdań logicznych z zastosowaniem tabelki wartościowania.
2. Działania na liczbach zespolonych. Rozwiązywanie równań algebraicznych w dziedzinie zespolonej. Znajdowanie postaci trygonometrycznej liczby zespolonej. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych.
3. Dalsze przykłady funkcji elementarnych. Definicje i badanie własności funkcji odwrotnych do trygonometrycznych i wykładniczych.
4. Granice ciągów. Podstawowe metody wyznaczania granic ciągów, arytmetyka granic, granice niewłaściwe
5. Granice funkcji. Podstawowe granice - symbole nieoznaczone.
6. Funkcje ciągłe. Typy nieciągłości, metody badania ciągłości. Warunek Lipschitza, ciągłość funkcji odwrotnych i funkcji elementarnych.
7. Pochodne funkcji jednej zmiennej. Wyprowadzenie podstawowych wzorów na pochodne. Obliczanie pochodnych iloczynów, ilorazów, złożeń i odwrotności funkcji różniczkowalnych.
8. Zastosowania pochodnych. Badanie monotoniczności, wyznaczanie ekstremów lokalnych funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.
9. Pochodne wyższych rzędów. Zastosowanie drugich pochodnych do badania wypukłości funkcji i do określenia, w których punktach osiągają one ekstrema lokalne. Wzór Taylora.
10. Całka nieoznaczona. Metody całkowania: przez podstawienie i przez części.
11. Dalsze metody całkowania. Całkowanie funkcji wymiernych. Sprowadzanie innych typów całek do całek z funkcji wymiernych.
12. Całka oznaczona. Geometryczna i fizyczna interpretacja całki.
13. Podstawowe własności całki oznaczonej, wzór Newtona-Leibniza.
14.  Zastosowania rachunku różniczkowego i rachunku całkowego.
15. Kolokwia (3×1 godz. na studiach stacjonarnych, 2×1 godz. na studiach niestacjonarnych). 

Metody kształcenia

Wykład informacyjny; wykład konwersatoryjny;  wykład problemowy.

Wykład: Treści prezentowane na wykładzie przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogacone o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.

Ćwiczenia: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.

Efekty uczenia się i metody weryfikacji osiągania efektów uczenia się

Opis efektu	Symbole efektów	Metody weryfikacji	Forma zajęć

Warunki zaliczenia

1. Trzy kolokwia (dwa na studiach niestacjonarnych) z zadaniami o zróżnicowanym stopniu trudności, pozwalającymi na sprawdzenie, czy student osiągnął efekty kształcenia w stopniu minimalnym. Aby uzyskać pozytywną ocenę z ćwiczeń, należy zdobyć minimum 50% sumy punktów ze wszystkich kolokwiów.
2. Egzamin w postaci testu z progami punkowymi.

Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu. Ocena z przedmiotu jest średnią arytmetyczną oceny z ćwiczeń i oceny z egzaminu.

Literatura podstawowa

Literatura podstawowa

1. G. Decewicz, W. Żakowski, Matematyka, Analiza matematyczna część I, WNT, Warszawa, 2005
2. M. Grabowski, Analiza matematyczna. Powtórzenie, ćwiczenia i zbiór zadań. WNT, Warszawa, 1997
3. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Gis, Wrocław, 2007
4. W. Lesiński, I. Nabiałek, W. Żakowski: Matematyka, Zadania  WNT, W-wa, 2009
5. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I.     PWN, W-wa,2015
6. M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych, WM, Bydgoszcz, 2010 
7. W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, PWN, Warszawa, 1971

 

Literatura uzupełniająca

Literatura uzupełniająca

1. R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 2004
2. W. Krysicki. L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach część I, PWN, Warszawa, 2008

Uwagi

Zmodyfikowane przez dr Krystyna Białek (ostatnia modyfikacja: 13-04-2021 15:34)