1. SylabUZ
2. Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
3. semestr zimowy 2022/2023
4. Matematyka - pierwszego stopnia z tyt. licencjata
5. Geometria elementarna

Wygeneruj PDF dla tej strony

Geometria elementarna - opis przedmiotu

Cel przedmiotu

Zapoznanie z najważniejszymi twierdzeniami i metodami geometrii elementarnej. Przygotowanie teoretyczne i praktyczne studentów do rozwiązywania problemów występujących w zadaniach geometrycznych o podwyższonym stopniu trudności.

Nabycie umiejętności wykonywania konstrukcji geometrycznych, rozwiązywania zadań oraz dowodzenia twierdzeń geometrycznych z wykorzystaniem ogólnodostępnych programów komputerowych wspomagających uczenie się i nauczanie geometrii.

Przygotowanie przyszłych nauczycieli matematyki do prowadzenia zajęć z geometrii w szkole, na zajęciach fakultatywnych oraz na kołach zainteresowań z wykorzystaniem programów komputerowych.

Wymagania wstępne

Zapisz zmiany

Wiedza i umiejętności z zakresu algebry liniowej, geometrii analitycznej oraz logiki matematycznej. Podstawowa umiejętność obsługi komputera.

Zakres tematyczny

Wykład:

1. Metoda aksjomatyczna w geometrii. Aksjomatyzacja geometrii euklidesowej, różne postacie aksjomatu Euklidesa o równoległych (2h)

2. Przekształcenia izometryczne na płaszczyźnie euklidesowej. Niezmienniki przekształceń, symetria osiowa, złożenia symetrii osiowych, rodzaje i klasyfikacje przekształceń izometrycznych.

3. Grupy przekształceń płaszczyzny i przestrzeni euklidesowej (2h)

4. Podobieństwo i własności podobieństwa (2h)

5. Inwersja i jej własności. Obrazy prostych i okręgów w inwersji (2h)

6. Powinowactwo osiowe i przekształcenia afiniczne. Własności przekształceń afinicznych 2h)

7. Geometria trójkąta. Twierdzenia sinusów i cosinusów. Twierdzenie Menelaosa, twierdzenie Cevy, i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Cevy. Wnioski wynikające z twierdzenia Cevy. Twierdzenie Steinera – Lehmusa (2h)

8. Twierdzenia o czworokącie. Okrąg wpisany i opisany na czworokącie. Twierdzenie Ptolemeusza, twierdzenie Brahmagupty. Twierdzenie Eulera o czworokącie (2h)

9. Potęga punktu względem kręgu. Twierdzenie o siecznych okręgu, twierdzenie o prostej potęgowej dwu okręgów, twierdzenie Eulera o odległości (2h)

10. Zastosowanie rachunku wektorowego do dowodzenia twierdzeń klasycznej geometrii (2h)

11. Konstrukcje geometryczne. Zadanie konstrukcyjne i jego rozwiązanie; problemy konstrukcyjne Starożytnych (kwadratura koła, trysekcja kąta, podwojenie sześcianu) (2h)

12. Konstrukcje wielokątów foremnych (wykonalne klasycznymi środkami), złoty podział; konstrukcje Mascheroniego i Steinera (2h)

13. Wielościany wypukłe. Twierdzenie Eulera dla wielościanów. Bryły platońskie (2h)

14. Płaszczyzna hiperboliczna i jej modele (2h)

15. Geometria sferyczna (2h)

Ćwiczenia:

Tematyka ćwiczeń będzie skorelowana z tematyką kolejnych wykładów. Na ćwiczeniach studenci będą mieli możliwość przyswoić definicje i metody przedstawione na wykładach, nabyć umiejętności rozwiązywania problemów, argumentowania swoich racji przy omawianiu zagadnień pojawiających  się w praktyce nauczyciela matematyki.
Dodatkowo studenci będą otrzymywali zestawy zadań do samodzielnego rozwiązania w domu (prace kontrolne), które będą oceniane i omawiane na ćwiczeniach lub na portalu internetowym (Google Classroom – konsultacje, test z wykładów). Od pierwszych zajęć u studentów będzie rozwijana potrzeba i umiejętność posługiwania się bezpłatnymi narzędziami takimi jak WolframAlpha  www.wolframalpha.com oraz  aplikacjami matematycznymi GeoGebra  www.geogebra.org.

Tematyka ćwiczeń:

1. Przekształcenia geometryczne. Niezmienniki przekształceń. Izometrie, przykłady, własności, grupy przekształceń. Jednokładność i podobieństwo. Powinowactwo osiowe (4h)

2. Geometria trójkąta. Trójkąt i jego własności. Twierdzenia dotyczące boków i kątów w trójkącie Okręgi związane z trójkątem (wpisane, opisane, dopisane). Okrąg dziewięciu punktów i jego własności. Punkty charakterystyczne trójkąta. Twierdzenie sinusów i cosinusów. Twierdzenie Menelaosa i twierdzenie Cevy. (4h)

3. Dowodzenie twierdzeń geometrycznych w GeoGebrze. Dowody przez eksperyment (4h)

4. Konstrukcje geometryczne. Zadanie konstrukcyjne i jego rozwiązanie. Problemy konstrukcyjne Starożytnych (kwadratura koła, trysekcja kąta, podwojenie sześcianu). Konstrukcje wielokątów foremnych (wykonalne klasycznymi środkami), złoty podział. Konstrukcje Mascheroniego i Steinera. Konstrukcje wielokątów foremnych (4h)

5. Przeprowadzanie w GeoGebrze wybranych konstrukcji  geometrycznych (4h)

6. Wielokąty. Dowodzenie eksperymentalne wzorów na pole trójkąta i wielokątów (4h)

7. Wielościany wypukłe. Wzór Eulera. Bryły platońskie (2h)

8. Elementy geometrii rzutowej i sferycznej – problem V postulatu Euklidesa; przykłady geometrii nieeuklidesowych (2h)

9. Kolokwium zaliczeniowe (2h)

Metody kształcenia

Wykład: problemowy, konwersatoryjny, wykład z prezentacją multimedialną.
Ćwiczenia audytoryjne: praca w grupach,  dyskusja.
Wykład: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień. Studenci otrzymują wyprzedzająco materiały ułatwiające śledzenie treści wykładów. 
Ćwiczenia audytoryjne: ćwiczenia z wykorzystaniem programów komputerowych uczących i programów narzędziowych, ułatwiające opanowanie, zrozumienie i usystematyzowanie wiedzy wyniesionej z wykładów i własnych studentów, pisemna praca kontrolna. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.

Efekty uczenia się i metody weryfikacji osiągania efektów uczenia się

Opis efektu	Symbole efektów	Metody weryfikacji	Forma zajęć

Warunki zaliczenia

Warunki zaliczenia

Sprawdzanie stopnia przygotowania studentów oraz ich aktywności w trakcie ćwiczeń.

1. Aktywność na zajęciach: weryfikacja znajomości treści wykładów na podstawie rozwiązywania zadań w tym praktycznych zastosowań teorii, zadań dowodowych, sprawdzianów pisemnych.

2. Sprawdziany pisemne z zadaniami o zróżnicowanym stopniu trudności, weryfikacja efektów kształcenia głównie w zakresie umiejętności i kompetencji na podstawie analizy rozwiązań zadań w trakcie sprawdzianów pisemnych.

3. Egzamin pisemny: weryfikacja umiejętności na podstawie analizy rozwiązań zadań egzaminacyjnych, weryfikacja znajomości pojęć i faktów na podstawie analizy odpowiedzi, na pytania egzaminacyjne o charakterze teoretycznym.

Zaliczenie wykładu na ocenę
Warunkiem dopuszczenia do zaliczenia wykładu na ocenę jest pozytywna ocena zaliczenia ćwiczeń audytoryjnych.
Warunkiem zaliczenia testu pisemnego jest uzyskanie ustalonej dla danego testu minimalnej liczby punktów (50%).
Ćwiczenia audytoryjne
Na ćwiczeniach audytoryjnych studenci rozwiązują, zadania i problemy wykorzystując definicje, twierdzenia oraz pozostałą wiedzę uzyskaną na wykładzie. Studenci również dyskutują i rozważają różne sposoby rozwiązania postawionych problemów. Obecność na ćwiczeniach audytoryjnych jest obowiązkowa.
Terminem uzyskania zaliczenia jest koniec zajęć w danym semestrze. Ocena podstawowego terminu zaliczenia jest wystawiana na podstawie osiągnięć studenta w trakcie ćwiczeń audytoryjnych. 
Student ma prawo do dwukrotnego przystąpienia do zaliczenia.
Warunkiem zaliczenia ćwiczeń jest uzyskanie pozytywnych ocen z trzech kolokwiów z zadaniami o zróżnicowanym stopniu trudności, pozwalającymi na sprawdzenie, czy student osiągnął efekty kształcenia w stopniu minimalnym oraz aktywności na ćwiczeniach.
Warunkiem zaliczenia kolokwium jest uzyskanie ustalonej (dla danego kolokwium) minimalnej liczby punktów (50%).
Warunkiem zaliczenia wykładu jest uzyskanie oceny pozytywnej z testu pisemnego (ilustracja wykładu przykładami).
Ocena końcowa przedmiotu jest średnią arytmetyczną oceny z ćwiczeń i oceny  zaliczenia wykładu (testu pisemnego.

 

 

Literatura podstawowa

1.  Berger M., Geometrie, Nathan, Paris 1977
2. Coxeter H.S.M., Wstęp do geometrii dawnej i nowej, PWN Warszawa 1967
3. Coxeter H.S.M., S.L. Greitzer, Geometry revisited, Toronto New York 1967
4. Czarnecki  M., Geometria szkolna, Skrypt, UŁ
5. Doman R., Wykłady z geometrii elementarnej, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2001
6.  Kowalski E., Geometria dla studentów, WSP, Zielona Góra
7. Krygowska Z., Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie, PWN, W-wa,
8. Zetel Z. I., Geometria trójkąta, PZWS, W-wa,

Literatura uzupełniająca

1. Agricola, T. Friedrich, Elementary Geometry, American Mathematical Society,
2. Brannan D., M. Esplen, J. Gray, Geometry, Cambridge UniversityBerger M.,Geometrie, Nathan, Paris
3. Coxter  H. S. M, S. L.,  Greitzer S. L., Geometry revisited, Toronto New York
4. Neugebauer A., Wstęp do planimetrii, Wydawnictwo Naukowe US, Szczecin

Uwagi

Zmodyfikowane przez dr Alina Szelecka (ostatnia modyfikacja: 19-05-2022 21:46)