1. SylabUZ
2. Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
3. semestr zimowy 2022/2023
4. Matematyka - pierwszego stopnia z tyt. licencjata
5. Analiza matematyczna 3

Wygeneruj PDF dla tej strony

Analiza matematyczna 3 - opis przedmiotu

Cel przedmiotu

Zapoznanie studenta z rachunkiem różniczkowym funkcji wielu zmiennych, a także z podstawami analizy fourierowskiej.

Wymagania wstępne

Zapisz zmiany

Analiza matematyczna 1 i 2. Logika i teoria mnogości. Algebra liniowa 1 i 2.

Zakres tematyczny

Wykład

I. Zastosowania całek funkcji dwóch i trzech zmiennych

1. Całka funkcji dwóch zmiennych we współrzędnych biegunowych (3 godz.)
2. Zastosowanie całki do obliczania pól figur na płaszczyźnie i pól powierzchni w przestrzeni oraz do wyznaczania środka masy i momentów bezwładności (2 godz.)
3. Zastosowania całki do obliczania objętości (1 godz.)

II. Szeregi Fouriera

1. Szeregi trygonometryczne (1 godz.)
2. Szereg Fouriera funkcji. Własności szeregów Fouriera (2 godz.)
3. Kryteria zbieżności szeregów Fouriera (2 godz,)
4. Sumowalność szeregów Fouriera. Twierdzenie Fejéra (1 godz.)

III. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

1. Pochodne kierunkowe i cząstkowe. Macierz Jacobiego i gradient (3 godz.)
2. Różniczka i różniczkowalność (7 godz.)
3. Interpretacja geometryczna różniczkowalności. Płaszczyzna styczna i prosta normalna (3 godz.)
4. Odwzorowania regularne i dyfeomorfizmy (2 godz.)
5. Twierdzenie o funkcji uwikłanej (4 godz.)
6. Ekstrema (5 godz.)
7. Ekstrema warunkowe (4 godz.)
8. Charakteryzacja wypukłości funkcji (1 godz.)
9. Odwzorowania regularne i dyfeomorfizmy pomiędzy przestrzeniami o różnych wymiarach (4 godz.)

Ćwiczenia

I. Całka Lebesgue’a II

1. Zastosowania twierdzenia o zmianie zmiennej w całce Lebesgue'a (3 godz.)
2. Przykładowe zadania z użyciem Twierdzenia Fubiniego (2 godz.)

II. Zastosowania całek funkcji dwóch i trzech zmiennych

1. Obliczanie pól, objętości i różnych wielkości fizycznych za pomocą całek funkcji wielu zmiennych (4 godz.)

III. Szeregi Fouriera

1. Wyznaczanie rozwinięć funkcji w szereg Fouriera (3 godz.)
2. Obliczenie sum zbieżnych szeregów liczbowych z wykorzystaniem szeregów Fouriera (3 godz.)

Kolokwium (2 godz.)

IV. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

1. Znajdowanie pochodnych kierunkowych, pochodnej i różniczki (5 godz.)
2. Wyznaczanie stycznych i normalnych (2 godz.)
3. Badanie regularności i dyfeomorficzności odwzorowań (3 godz.)
4. Badanie zagadnienia funkcji uwikłanej (3 godz.)
5. Wyznaczanie ekstremów lokalnych funkcji (4 godz.)
6. Znajdywanie ekstremów warunkowych i globalnych (5 godz.)
7. Regularność i dyfeomorficzność odwzorowań działających między przestrzeniami o różnych wymiarach (4 godz.)

Kolokwium (2 godz.)

Metody kształcenia

Tradycyjny wykład; ćwiczenia, w ramach których studenci rozwiązują zadania i dyskutują, a także przygotowują notki biograficzne matematyków, których nazwiska pojawiają się na wykładzie; praca w grupach zakończona opracowaniem pisemnym; praca z książką i przy pomocy Internetu. W razie konieczności (stwierdzonej w zarządzeniu Rektora UZ) zajęcia mogą być prowadzone zdalnie (online).

Efekty uczenia się i metody weryfikacji osiągania efektów uczenia się

Opis efektu	Symbole efektów	Metody weryfikacji	Forma zajęć

Warunki zaliczenia

1. Dwa kolokwia z zadaniami o zróżnicowanym stopniu trudności, pozwalającymi na sprawdzenie, czy student osiągnął efekty kształcenia w stopniu minimalnym.
2. Egzamin w postaci testu z progami punktowymi.

Ocena z przedmiotu jest średnią arytmetyczną oceny z ćwiczeń i oceny z egzaminu. Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu.

Literatura podstawowa

1. Witold Jarczyk,  Notatki do wykładu z analizy matematycznej, http://staff.uz.zgora.pl/wjarczyk/materialy.html
2. Witold Jarczyk, Zadania z analizy matematycznej, http://staff.uz.zgora.pl/wjarczyk/materialy.html

Literatura uzupełniająca

1. Józef Banaś, Stanisław Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1993.
2. Andrzej Birkholc, Analiza Matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2002.
3. Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1986.
4. Walter Rudin, Podstawy analizy matematycznej,  Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2002.

Uwagi

Zmodyfikowane przez dr Alina Szelecka (ostatnia modyfikacja: 19-05-2022 21:46)