Zapoznanie studenta z podstawowymi pojęciami analizy matematycznej. Wśród nich: zbieżność ciągu i szeregu, granica, ciągłość i pochodna funkcji.Ważne będą także związki między tymi pojęciami i przykładowe zastosowania poznanej teorii.
Wymagania wstępne
Znajomość matematyki w zakresie szkoły ponadgimnazjalnej.
Zakres tematyczny
Wykład
I. Liczby rzeczywiste
Aksjomatyka liczb rzeczywistych. Kresy (4 godz.)
Pierwiastek liczby nieujemnej (1 godz.)
Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych (1 godz.)
II. Funkcje elementarne I
Wielomiany i funkcje wymierne. Funkcje potęgowe zmiennej rzeczywistej o wykładniku wymiernym (1 godz.)
Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej (2 godz.)
III. Ciągi i szeregi liczbowe
Ciągi liczbowe i ich zbieżność. Ciągi ograniczone. Warunek Cauchy’ego (2 godz.)
Obliczanie granic ciągów (2 godz.)
Granica górna i granica dolna ciągu (1 godz.)
Szeregi liczbowe – podstawy (2 godz.)
Szeregi o wyrazach nieujemnych. Kryteria porównawcze. Kryteria Cauchy’ego i d’Alemberta (3 godz.)
Zbieżność bezwzględna, bezwarunkowa i warunkowa. Twierdzenie Riemanna (2 godz.)
Funkcje wykładnicze. Funkcje logarytmiczne zmiennej rzeczywistej (1 godz.)
Funkcje potęgowe zmiennej rzeczywistej (1 godz.)
Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne (1 godz.)
VII. Funkcje monotoniczne i wypukłe
Funkcje monotoniczne (2 godz.)
Funkcje wypukłe (informacyjnie; część materiału, wskazana przez wykładowcę, powinna być opanowana przez studenta samodzielnie, na podstawie materiałów wskazanych przez prowadzącego) (1 godz.)
VIII. Elementarny rachunek różniczkowy
Pochodna i jej interpretacja. Różniczkowalność funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Podstawowe wzory związane z pochodnymi. Pochodne funkcji elementarnych (3 godz.)
Twierdzenia o wartości średniej Rolle’a, Cauchy’ego i Lagrange’a. Charakteryzacja monotoniczności (2 godz.)
Reguła de L’Hospitala (1 godz.)
Pochodne wyższych rzędów i wzór Taylora (2 godz.)
Ekstrema lokalne (1 godz.)
Charakteryzacja wypukłości funkcji (1 godz.)
Zbieżność jednostajna a różniczkowanie. Różniczkowanie szeregów potęgowych. Szereg Taylora (2 godz.)
Różniczkowalność funkcji elementarnych (1 godz.)
Funkcja pierwotna (2 godz.)
Algorytm całkowania funkcji wymiernych (2 godz.)
Pochodna funkcji zmiennej zespolonej (informacyjnie) (1 godz.)
IX. Zastosowania rachunku różniczkowego (materiał do opracowania przez studentów w zespołach, w formie pisemnej, na podstawie materiałów wskazanych przez wykładowcę)
Ruch prostoliniowy
Zastosowania w geometrii
Różniczka i obliczenia przybliżone
Metoda Newtona
Zastosowania w ekonomii
Ćwiczenia
I. Liczby rzeczywiste
Stosowanie aksjomatów zbioru liczb rzeczywistych w prostych dowodach (2 godz.)
Podstawowe własności zbiorów liczb wymiernych i niewymiernych. Wyznaczanie kresów zbiorów liczb rzeczywistych (3 godz.)
Symbole nieoznaczone w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych (1 godz.)
II. Funkcje elementarne I
Przypomnienie podstawowych własności funkcji trygonometrycznych. Ich wykresy (2 godz.)
Przykłady występowania funkcji elementarnych w prostych zagadnieniach poza matematyką (1 godz.)
III. Ciągi i szeregi liczbowe
Badanie zbieżności ciągów liczbowych przy pomocy definicji i prostych przekształceń algebraicznych (2 godz.)
Badanie zbieżności poprzez warunek Cauchy’ego (1 godz.)
Badanie zbieżności ciągów monotonicznych i ograniczonych. Liczba Napera-Eulera (2 godz.)
Ciągi rekurencyjne. Zastosowanie twierdzenia o trzech ciągach (1 godz.)
Ćwiczenie zastosowania kryterium Weierstrassa do badania zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych (1 godz.)
Wyznaczanie środka i promienia zbieżności szeregu potęgowego (3 godz.)
VI. Funkcje elementarne II
Własności funkcji wykładniczych i trygonometrycznych zmiennej zespolonej – ćwiczenie prostego dowodzenia rachunkowego (2 godz.)
Kolokwium (2 godz.)
VII. Funkcje monotoniczne i wypukłe
Badanie wypukłości funkcji przy użyciu definicji (1 godz.)
Dowodzenie pewnych nierówności poprzez sprawdzenie wypukłości stosownej funkcji (1 godz.)
VIII. Elementarny rachunek różniczkowy I
Obliczanie pochodnych z definicji. Badanie różniczkowalności. Wyznaczanie stycznej i normalnej do krzywej (5 godz.)
Stosowanie twierdzeń o wartości średniej, badanie monotoniczności funkcji różniczkowalnych, dowodzenie nierówności (3 godz.)
Obliczanie granic funkcji przy pomocy reguły de L’Hospitala (2 godz.)
Stosowanie wzoru Taylora do przybliżania wartości funkcji (2 godz.)
Rozwijanie funkcji w szereg Taylora (2 godz.)
Kolokwium (2 godz.)
Metody kształcenia
Tradycyjny wykład; ćwiczenia, w ramach których studenci rozwiązują zadania i dyskutują, a także przygotowują notki biograficzne matematyków, których nazwiska pojawiają się na wykładzie; praca w grupach; praca z książką i przy pomocy internetu. W razie konieczności (stwierdzonej w zarządzeniu Rektora UZ) zajęcia mogą być prowadzone zdalnie (online).
Efekty uczenia się i metody weryfikacji osiągania efektów uczenia się
Opis efektu
Symbole efektów
Metody weryfikacji
Forma zajęć
Warunki zaliczenia
Trzy kolokwia z zadaniami o zróżnicowanym stopniu trudności, pozwalającymi na sprawdzenie, czy student osiągnął efekty kształcenia w stopniu minimalnym.
Egzamin w postaci testu z progami punktowymi.
Ocena z przedmiotu jest średnią arytmetyczną oceny z ćwiczeń i oceny z egzaminu. Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu.
Literatura podstawowa
Witold Jarczyk, Notatki do wykładu z analizy matematycznej, http://staff.uz.zgora.pl/wjarczyk/materialy.html
Witold Jarczyk, Zadania z analizy matematycznej, http://staff.uz.zgora.pl/wjarczyk/materialy.html
Literatura uzupełniająca
Józef Banaś, Stanisław Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1993.
Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1986.
Walter Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2002.
Uwagi
Zmodyfikowane przez dr Alina Szelecka (ostatnia modyfikacja: 19-05-2022 21:46)
Ta strona używa ciasteczek (cookies), dzięki którym nasz serwis może działać lepiej. Korzystając z niniejszej strony, wyrażasz zgodę na ich używanie. Dowiedz się więcej.