1. SylabUZ
2. Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
3. semestr zimowy 2022/2023
4. Matematyka - pierwszego stopnia z tyt. licencjata
5. Analiza matematyczna 2

Wygeneruj PDF dla tej strony

Analiza matematyczna 2 - opis przedmiotu

Cel przedmiotu

Zapoznanie studenta z metodą różniczkową badania monotoniczności, ekstremów i wypukłości funkcji, z pojęciami pierwotnej i całki Riemanna. Nacisk położony jest na opanowanie technik rachunkowych, w szczególności całkowania, a także na zastosowania rachunku różniczkowego i całkowego. Kolejnym celem jest przedstawienie podstaw teorii miary, a następnie teorii całki Lebesgue'a i powiązanie ze sobą obu pojęć całek: Riemanna i Lebesgue'a.

Wymagania wstępne

Zapisz zmiany

Analiza matematyczna 1. Logika i teoria mnogości. Algebra liniowa 1.

Zakres tematyczny

Wykład

I. Elementarny rachunek całkowy

1. Całka Riemanna i pole. Podstawowe własności całki. Twierdzenie o wartości średniej (8 godz.)
2. Całkowanie a różniczkowanie. Twierdzenie Newtona-Leibniza i jego konsekwencje (3 godz.)
3. Zbieżność jednostajna a całkowanie. Całkowanie szeregów potęgowych (3 godz).

II. Techniki całkowania

1. Podstawienia trygonometryczne (2 godz.)
2. Podstawienia Eulera (3 godz.)
3. Całkowanie numeryczne: wzór trapezów i metoda Simpsona (materiał winien być opanowany przez studenta samodzielnie, na podstawie materiałów wskazanych przez wykładowcę).

III. Zastosowania rachunku całkowego

1. Przykłady zastosowań całek w geometrii: pole obszaru, objętość bryły obrotowej, pole powierzchni obrotowej (3 godz.)
2. Środek masy i momenty. Twierdzenie Pappusa (materiał winien być opanowany przez studenta samodzielnie, na podstawie materiałów wskazanych przez wykładowcę).
3. Praca i ciśnienie (materiał winien być opanowany przez studenta samodzielnie, na podstawie materiałów wskazanych przez wykładowcę).

IV. Przestrzenie kartezjańskie i różne sposoby opisu ich podzbiorów. Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych

1. Skalary i wektory (1 godz.)
2. Układ biegunowy. Krzywe we współrzędnych biegunowych. Pole obszaru ograniczonego krzywą. Długość krzywej (2 godz.)
3. Równania parametryczne krzywej na płaszczyźnie. Styczna do krzywej. Długość krzywej (2 godz.)
4. Współrzędne cylindryczne i sferyczne (1 godz.)
5. Poziomice funkcji dwóch i trzech zmiennych (1 godz.)
6. Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych (6 godz.)

V. Elementy teorii miary

1. Ciało przeliczalnie addytywne i miara. Proste przykłady (2 godz.)
2. Miara zupełna (2 godz.)
3. Miara zewnętrzna i Twierdzenie Carathéodory'ego (3 godz.)
4. Miara Lebesgue'a (4 godz.)
5. Funkcje mierzalne. Funkcje proste. Zasada indukcji dla funkcji mierzalnych (2 godz.)
6. Ciągi funkcji mierzalnych (1 godz.)

VI. Całka Lebesgue'a

1. Definicja i podstawowe własności całki. Całkowalność (2 godz.)
2. Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki (2 godz.)
3. Całka względem miary Lebesgue'a a całka Riemanna. Charakteryzacja całkowalności w sensie Riemanna (2 godz.)
4. Całka jako funkcja zbioru (1 godz.)
5. Zmiana zmiennej w całce (1 godz.)
6. Miara produktowa i Twierdzenie Fubiniego. Całki iterowane (3 godz.)

Ćwiczenia

I. Elementarny rachunek różniczkowy II

1. Wyznaczanie ekstremów lokalnych i globalnych. Dowodzenie nierówności przy pomocy badania ekstremów. Badanie przebiegu zmienności funkcji (5 godz.)
2. Badanie zbieżności jednostajnej ciągów i szeregów funkcyjnych (2 godz.)

II. Elementarny rachunek całkowy. Techniki całkowania 

1. Obliczanie całek z definicji (2 godz.)
2. Całkowanie przez części i przez podstawienie. Algorytm całkowania funkcji wymiernych. Użycie twierdzenia Newtona-Leibniza (9 godz.)

Kolokwium (2 godz.)

III. Zastosowania rachunku całkowego

1. Przechodzenie do granicy pod znakiem całki i całkowanie szeregów funkcyjnych (2 godz.)
2. Obliczanie pól obszarów i objętości brył (2 godz.)
3. Wyznaczanie środka ciężkości i obliczanie pracy (1 godz.)

IV. Przestrzenie kartezjańskie i różne sposoby opisu ich podzbiorów. Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych

1. Przechodzenie od współrzędnych kartezjańskich do biegunowych i na odwrót (1 godz.)
2. Obliczanie pól obszarów i długości krzywych, opisanych równaniami biegunowymi (2 godz.)
3. Znajdywanie stycznej do krzywej zadanej parametrycznie. Obliczanie pól obszarów i długości krzywych zadanych równaniami parametrycznymi (3 godz.)
4. Równania powierzchni we współrzędnych sferycznych i cylindrycznych (2 godz.)
5. Granica i granice iterowane (3 godz.)
6. Ciągłość i ciągłość ze względu na poszczególne zmienne (2 godz.)

Kolokwium (2 godz.)

V. Elementy teorii miary

1. Przykłady miar i przeliczalnie addytywnych ciał zbiorów (2 godz.)
2. Pojęcie objętości (1 godz.)
3. Miara zewnętrzna Lebesgue'a (1 godz.)
4. Obliczanie miary Lebesgue'a pewnych zbiorów (2 godz.)
5. Istnienie zbiorów niemierzalnych w sensie Lebesgue'a (1 godz.)
6. Rodzaje zbieżności ciągów funkcji mierzalnych (2 godz.)

VI. Całka Lebesgue'a I

1. Obliczanie całek przy pomocy definicji.  Badanie całkowalności (3 godz.)
2. Przykładowe zastosowania twierdzeń o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki (1 godz.)
3. Przykłady całek względem miary Lebesgue'a funkcji niecałkowalnych w sensie Riemanna. Porównanie zakresu stosowalności obu pojęć całek.  Całka niewłaściwa Riemanna. Czy warto omawiać to pojęcie? (4 godz.)
4. Całka jako funkcja zbioru (1 godz.)

Kolokwium (2 godz.)

Metody kształcenia

Tradycyjny wykład; ćwiczenia, w ramach których studenci rozwiązują zadania i dyskutują, a także przygotowują notki biograficzne matematyków, których nazwiska pojawiają się na wykładzie; praca w grupach zakończona opracowaniem pisemnym; praca z książką i przy pomocy Internetu. W razie konieczności (stwierdzonej w zarządzeniu Rektora UZ) zajęcia mogą być prowadzone zdalnie (online).

Efekty uczenia się i metody weryfikacji osiągania efektów uczenia się

Opis efektu	Symbole efektów	Metody weryfikacji	Forma zajęć

Warunki zaliczenia

1. Trzy kolokwia z zadaniami o zróżnicowanym stopniu trudności, pozwalającymi na sprawdzenie, czy student osiągnął efekty kształcenia w stopniu minimalnym.
2. Egzamin w postaci testu z progami punktowymi.

Ocena z przedmiotu jest średnią arytmetyczną oceny z ćwiczeń i oceny z egzaminu. Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu.

Literatura podstawowa

1. Witold Jarczyk,  Notatki do wykładu z analizy matematycznej, http://staff.uz.zgora.pl/wjarczyk/materialy.html
2. Witold Jarczyk, Zadania z analizy matematycznej, http://staff.uz.zgora.pl/wjarczyk/materialy.html

Literatura uzupełniająca

1. Józef Banaś, Stanisław Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1993.
2. Andrzej Birkholc, Analiza Matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2002.
3. Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1986.
4. Walter Rudin, Podstawy analizy matematycznej,  Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2002.

Uwagi

Zmodyfikowane przez dr Alina Szelecka (ostatnia modyfikacja: 19-05-2022 21:46)