Przedmiotowi przyświecają dwa cele: wykształcenie umiejętności geometryzowania zadań matematycznych; rozwiązywanie zadań geometrycznych metodami algebraicznymi.
Wymagania wstępne
Zaliczona Algebra liniowa 2.
Zakres tematyczny
Wykład
Przestrzenie punktowe afiniczne i euklidesowe.
Kombinacja afiniczna punktów; afiniczna niezależność; przykłady przestrzeni afinicznych; izomorfizm przestrzeni afinicznych; model standardowy przestrzeni afinicznej. Odwzorowania afiniczne. (4 godz.)
Przekształcenia ortogonalne i ich macierze względem bazy ortonormalnej. Rozkład przestrzeni na minimalne podprzestrzenie niezmiennicze: obroty, odbicia. Postać kanoniczna macierzy odwzorowania ortogonalnego. Orientacja przestrzeni. Euklidesowe przestrzenie punktowe: odległość, kula, klasyfikacja izometrii; (8 godz.)
Podprzestrzenie afiniczne: hiperpłaszczyzna, prosta. Szczególne podzbiory przestrzeni afinicznej: odcinki, zbiory wypukłe, sympleksy. Punkty w położeniu ogólnym. Uwypuklenie zbioru, wielościany jako uwypuklenia zbiorów skończonych, twierdzenie Caratheodory’ego. Twierdzenie Radona, twierdzenie Helly’ego. (6 godz.)
Domknięty zbiór wypukły; odległość punktu od zbioru wypukłego, od hiperłaszczyzny. (2 godz.)
Objętości wybranych zbiorów – objętość równoległościanu, sympleksu; nierówność Brunna-Minkowskiego, elipsoida Johna (informacyjnie, o ile będzie czas). (4 godz.)
Hiperpowerzchnie kwadratowe
Klasyfikacja stożkowych i kwadryk (4 godz.)
Ćwiczenia
Elementy geometrii sferycznej, wielościany sferyczne (wzory do wyprowadzenia w formie ćwiczeń). Wzór Eulera dla wielościanów wypukłych i sferycznych. Zastosowania. (4 godz.)
Klasyfikacja przekształceń ortogonalnych przestrzeni dwu- i trójwymiarowej, składanie przekształceń ortogonalnych. Sprowadzanie macierzy ortogonalnej do postaci kanonicznej. Składanie izometrii płaszczyzny i przestrzeni (7 godz.)
Zastosowania twierdzenia Helly’ego. (2 godz.)
Wyznaczanie odległości punktu od zbioru. (2 godz.)
Wyznaczanie sumy Minkowskiego pary figur wypukłych i szacowanie ich pola – nierówność izoperymetryczna. (2 godz.)
Twierdzenie Minkowskiego o punktach kratowych (dowód rozpisany w formie ćwiczeń); zastosowania (3 godz.)
Omówienie esejów (2 godz.)
Nieformalne wprowadzenie do charakterystyki Eulera – obliczanie charakterystyki Eulera wybranych zbiorów. (2 godz.)
Badanie stożkowych i kwadryk (4 godz.)
Kolokwium (2 godz.)
Ćwiczenia nie podążają wiernie za wykładem, ale zawierają często inne treści. Mają one wdrożyć studentów do myślenia geometrycznego, a także do samodzielnego przeprowadzania rozumowań.
Metody kształcenia
Tradycyjny wykład. Ćwiczenia problemowe wspomagane środkami audiowizualnymi.
Prezentacje przygotowane przez studentów względnie eseje (praca w zespołach).
Efekty uczenia się i metody weryfikacji osiągania efektów uczenia się
Opis efektu
Symbole efektów
Metody weryfikacji
Forma zajęć
Warunki zaliczenia
Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu. Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (50%), ocena z egzaminu (50%). Prowadzący może podnieść tę ocenę w uznaniu za szczególne zasługi studenta.
Literatura podstawowa
Aleksiej I. Kostrikin, Wstęp do algebry, t. 2, PWN, Warszawa 2004.
M. Aigner, G. M. Ziegler, Dowody z Księgi, PWN, Warszawa 2002.
Literatura uzupełniająca
Andrzej Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.
Jacek Gancarzewicz, Algebra liniowa i jej zastosowania, Wyd. Uniw. Jagiellońskiego, Kraków 2004.
J. Matoušek, Lectures on discrete geometry, Springer, 2002.
H. Hopf, Differential Geometry in the Large, LNM 1000, Springer, 1989.
Uwagi
Zmodyfikowane przez dr Ewa Sylwestrzak-Maślanka (ostatnia modyfikacja: 02-04-2024 10:17)
Ta strona używa ciasteczek (cookies), dzięki którym nasz serwis może działać lepiej. Korzystając z niniejszej strony, wyrażasz zgodę na ich używanie. Dowiedz się więcej.