1. SylabUZ
2. Faculty of Mathematics, Computer Science and Econometrics
3. winter term 2018/2019
4. Mathematics - PhD studies
5. Wstęp do algebraicznej i różniczkowej teorii Galois

Generate PDF for this page

Wstęp do algebraicznej i różniczkowej teorii Galois - course description

Aim of the course

Celem wykładu jest zapoznanie doktorantów z pojęciami i głównymi wynikami teorii Galois: algebraicznej i różniczkowej. Po ukończeniu kursu doktorant powinien znać pojęcia i główne  twierdzenia algebraicznej i różniczkowej teorii Galois ich zastosowania do badania rozwiązalności równań algebraricznych i liniowych równań różniczkowych  oraz być przygotowanym do prowadzenia badań naukowych w tej dziedzinie.

Prerequisites

Save changes

Zaliczone kursy: algebra i analiza matematyczna.

Scope

Wykład

1. Elementy teorii grup i pierścieni – przypomnienie: grupa, podgrupa, rząd grupy, warstwa, grupy cykliczne, automorfizm,  dzielnik normalny, homomorfizmy grup, grupy ilorazowe, grupy permutacji, pierścień, homomorfizy i izomorfizmy pierścieni, ideał pierścienia, ciało, podciało, rozszerzenie ciała, ciało ilorazowe.

2. Rozszerzenia algebraiczne: rozszerzenie ciała jako przestrzeń liniowa, rozszerzenie algebraiczne, baza i stopień rozszerzenia, ciało rozkładu wielomianów, rozszerzenia normalne, element pierwotny rozszerzenia.

3. Algebraiczna grupa Galois: automorfizmy ciał, automorfizm ciała stały na podciele, grupa Galois rozszerzenia, przykłady, własności, rozszerzenia Galois, odpowiedniość pomiędzy podgrupami grupy Galois a podciałami ciała, zasadnicze twierdzenie teorii Galois.

4. Zastosowanie teorii Galois do równań algebraicznych: ciała cykliczne, pierwiastniki, rozszerzenie ciał pierwiastnikowe, rozwiązalność równania wielomianowego  przez pierwiastniki, grupy rozwiązalne, rozwiązalność równania wielomianowego a rozwiązalność grupy Galois, przykłady nierozwiązywalnych przez pierwiastniki równań wielomianowych, twierdzenie Abela.

5. Konstrukcje geometryczne za pomoca cyrkla i linijki: konstruowalność punktu przy pomocy konstrukcji klasycznej, rozszerzenia konstruowalne, niewykonalność pewnych konstrukcji klasycznych.

6. Równania różniczkowe liniowe o niestałych współczynnikach: derywacje, ciała różniczkowe, ciało stałych, rozszerzenie różniczkowe ciała różniczkowego, własności rozwiązań równań różniczkowych liniowych, rozszerzenie Picarda-Vessiota.

7. Różniczkowa grupa Galois, definicja, własności, przykłady różniczkowych grup Galois, różniczkowa grupa Galois jako grupa algebraiczna

8. Rozwiązalność równań różniczkowych liniowych: funkcje klasy Liouville’a, rozszerzenie Liouville’a, rozwiązalność w funkcjach klasy Liouville’a, związek między rozwiązalność równania w  funkcjach klasy Liouville’a z rozwiązalnością różniczkowej grupy Galois.

9. Grupa Galois równania różniczkowego drugiego rzędu o współczynnikach wymiernych: postać zredukowana równania, algebraiczne podgrupy grupy SL(2,C), algorytm Kovacica

10. Lokalne i globalne grupy Galois: rozwiązania lokalne wokół osobliwości, wykładniki charakterystyczne i uogólnione wykładniki, formalna lokalna monodromia, formalna lokalna grupa Galois, zjawisko Stokesa, connection problem.

Teaching methods

Tradycyjny wykład połączony z metodą seminarium naukowego.

Learning outcomes and methods of theirs verification

Outcome description	Outcome symbols	Methods of verification	The class form

Assignment conditions

Egzamin z problemami o zróżnicowanym stopniu trudności, pozwalającymi na ocenę, czy student osiągnął efekty kształcenia w odpowiednim stopniu.

Recommended reading

1. M. Bryński, Elementy teorii Galois, Wydawnictwo „Alfa”, Warszawa, 1985

2. A. Mostowski, M. Stark, Algebra wyższa, część III, PWN, Warszawa, 1967

3. I. Stewart, Galois theory, 4th edition, CRC Press, 2015

4. D.A. Cox, Galois theory, Wiley-Interscience, 2004

5. M. Ayad, Theorie de Galois, 122 exercices corriges, niveau I, Ellipses, Paris, 1997

6. F. Beukers, Differential Galois theory, in From number theory to physics (Les Houches, 1989), 413–439, Springer, Berlin, 1992

7. M.F. Singer, ‘An outline of differential Galois theory’, In: Computer Algebra and Differential Equations, Academic Press, London, pp. 3–57, 1990.

8. M.F. Singer, Formal Solutions of Differential Equations. J. Symbolic Computation, vol. 10, 1990, 59–94.

9. I. Kaplansky, An Introduction to Differential Algebra, 2nd edn, Hermann, Paris; Actualités Scientifiques et Industrielles, No. 1251, Publications de l’Institut de Mathématique de l’Université de Nancago, No. V,  1976

10. A.R. Magid. Lectures on differential Galois theory. University Lecture Series, vol. 7. Providence, RI: American Mathematical Society; 1994.

11 M. van der Put, M.F. Singer,  Galois theory of linear differential equations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Fundamental  Principles  of  Mathematical Sciences,  vol. 328. Berlin: Springer-verlag; 2003.

Further reading

Notes

Modified by dr Alina Szelecka (last modification: 14-07-2018 07:50)