1. SylabUZ
2. Faculty of Physics and Astronomy
3. winter term 2020/2021
4. Physics - Second-cycle studies leading to MS degree
5. Metody matematyczne fizyki

Generate PDF for this page

Metody matematyczne fizyki - course description

Aim of the course

Zapoznanie z podstawowym aparatem matematycznym geometrii różniczkowej, algebry i analizy tensorowej potrzebnym do wykładu i ćwiczeń z teorii pola (ogólnej teorii względności)

Prerequisites

Save changes

Analiza matematyczna I i II, metody algebraiczne i geometryczne w fizyce

Scope

1. Elementy analizy funkcji wielu zmiennych. Funkcje z R^n do R^m, ciągłość, granica, różniczkowalność, macierz Jacobiego przekształcenia, twierdzenia o funkcji odwrotnej i o funkcji uwikłanej wielu zmiennych.
2. Elementy geometrii różniczkowej. Układy współrzędnych kartezjańskich i krzywoliniowych w R^n i pewnych obszarach R^n, Krzywe w przestrzeni euklidesowej, długość krzywej, metryka riemannowska, parametryzacja naturalna, krzywizna i torsja, wzory Serret-Freneta, powierzchnie w R^3, pierwsza i druga forma podstawowa, krzywizna średnia i krzywizna Gaussa, podprzestrzenie zanurzone w wyżej wymiarowych przestrzeniach płaskich, pojęcie rozmaitości różniczkowej, współrzędne na rozmaitości, przestrzeń styczna i kostyczna
3. Elementy algebry tensorowej. Przestrzeń dualna do przestrzeni wektorowej, odwzorowania wieloliniowe, prawo transformacji dla tensorów i pól tensorowych, operacje algebraiczne na tensorach, formy różniczkowe jako tensory antysymetryczne, przykłady zastosowania tensorów w fizyce.
4. Elementy analizy tensorowej. Koneksja afiniczna, pochodna kowariantna, symbole Christoffela, torsja, koneksja riemannowska, przesunięcie równoległe, równanie przesunięcia równoległego, geodezyjne, tensor krzywizny, współrzędne euklidesowe, własności tensora krzywizny, tensor Ricciego, skalar krzywizny.

Teaching methods

Wykład konwencjonalny z podkreśleniem treści potrzebnych w trakcie studiowania ogólnej teorii względności.

Ćwiczenia rachunkowe, w ramach, których studenci rozwiązują zadania ilustrujące treść wykładu z przykładami dobranymi pod kątem zastosowania do ogólnej teorii względności.

Learning outcomes and methods of theirs verification

Outcome description	Outcome symbols	Methods of verification	The class form

Assignment conditions

Wykład: egzamin pisemny z oceną; Warunek zaliczenia - pozytywna ocena.

Ćwiczenia: Kolokwium pisemne. Warunek zaliczenia – pozytywne zaliczenie kolokwium.

Przed przystąpieniem do zaliczenia z wykładu student musi uzyskać zaliczenie z ćwiczeń.

Ocena końcowa: średnia arytmetyczna ocen egzaminu i zaliczenia ćwiczeń.

Recommended reading

[1] L. M. Sokołowski, Elementy analizy tensorowej, Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego, 2010.

[2] M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006.

[3] A. Goetz i inni, Zewnętrzne formy różniczkowe, WNT, Warszawa 1965.

[4] S. Lovett, Differential geometry of Manifolds, A K Peters, Ltd, Natick, Massachusetts 2010.

[5] A. S. Mishchenko, A. Fomenko, A course of Differential Geometry and Topology, Mir Publishers Moscow 1988.

[6] B. A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov, Modern Geometry – Methods and Applications,

Springer 1992.

[7] A. S. Mishchenko, Yu. P. Solovyev,, A.T. Fomenko, Problems in Differential Geometry and

Topology, Mir Publishers, Moscow 1985.

Further reading

[1] P. M. Gadea, J. Munoz Masque, Analysis and Algebra on Differentiable Manifolds, Springer 2009.

[2] T. Banchoff, S. Lovett, Differential Geometry of Curves and Surfaces, A K Peters, Ltd, Natick, Massachusetts 2010.

[3] S. Chandrasekhar, The Mathematical Theory of Black Holes, Clarendon Press, Oxford 1983.

[4] E. Karaśkiewicz, Zarys teorii wektorów i tensorów, Państwowe Wydawnictwo Naukowe,

Warszawa 1964.

 

Notes

Modified by dr hab. Piotr Lubiński, prof. UZ (last modification: 08-06-2020 22:48)