Przedmiotowi przyświecają dwa cele: wykształcenie umiejętności geometryzowania zadań matematycznych; rozwiązywanie zadań geometrycznych metodami algebraicznymi.
Prerequisites
Zaliczona Algebra liniowa 2.
Scope
Wykład
Przestrzenie punktowe afiniczne i euklidesowe.
Kombinacja afiniczna punktów; afiniczna niezależność; przykłady przestrzeni afinicznych; izomorfizm przestrzeni afinicznych; model standardowy przestrzeni afinicznej. Odwzorowania afiniczne. (4 godz.)
Przekształcenia ortogonalne i ich macierze względem bazy ortonormalnej. Rozkład przestrzeni na minimalne podprzestrzenie niezmiennicze: obroty, odbicia. Postać kanoniczna macierzy odwzorowania ortogonalnego. Orientacja przestrzeni. Euklidesowe przestrzenie punktowe: odległość, kula, klasyfikacja izometrii; (8 godz.)
Podprzestrzenie afiniczne: hiperpłaszczyzna, prosta. Szczególne podzbiory przestrzeni afinicznej: odcinki, zbiory wypukłe, sympleksy. Punkty w położeniu ogólnym. Uwypuklenie zbioru, wielościany jako uwypuklenia zbiorów skończonych, twierdzenie Caratheodory’ego. Twierdzenie Radona, twierdzenie Helly’ego. (6 godz.)
Domknięty zbiór wypukły; odległość punktu od zbioru wypukłego, od hiperłaszczyzny. (2 godz.)
Objętości wybranych zbiorów – objętość równoległościanu, sympleksu; nierówność Brunna-Minkowskiego, elipsoida Johna (informacyjnie, o ile będzie czas). (4 godz.)
Hiperpowerzchnie kwadratowe
Klasyfikacja stożkowych i kwadryk (4 godz.)
Ćwiczenia
Elementy geometrii sferycznej, wielościany sferyczne (wzory do wyprowadzenia w formie ćwiczeń). Wzór Eulera dla wielościanów wypukłych i sferycznych. Zastosowania. (4 godz.)
Klasyfikacja przekształceń ortogonalnych przestrzeni dwu- i trójwymiarowej, składanie przekształceń ortogonalnych. Sprowadzanie macierzy ortogonalnej do postaci kanonicznej. Składanie izometrii płaszczyzny i przestrzeni (7 godz.)
Zastosowania twierdzenia Helly’ego. (2 godz.)
Wyznaczanie odległości punktu od zbioru. (2 godz.)
Wyznaczanie sumy Minkowskiego pary figur wypukłych i szacowanie ich pola – nierówność izoperymetryczna. (2 godz.)
Twierdzenie Minkowskiego o punktach kratowych (dowód rozpisany w formie ćwiczeń); zastosowania (3 godz.)
Omówienie esejów (2 godz.)
Nieformalne wprowadzenie do charakterystyki Eulera – obliczanie charakterystyki Eulera wybranych zbiorów. (2 godz.)
Badanie stożkowych i kwadryk (4 godz.)
Kolokwium (2 godz.)
Ćwiczenia nie podążają wiernie za wykładem, ale zawierają często inne treści. Mają one wdrożyć studentów do myślenia geometrycznego, a także do samodzielnego przeprowadzania rozumowań.
Teaching methods
Tradycyjny wykład. Ćwiczenia problemowe wspomagane środkami audiowizualnymi.
Prezentacje przygotowane przez studentów względnie eseje (praca w zespołach).
Learning outcomes and methods of theirs verification
Outcome description
Outcome symbols
Methods of verification
The class form
Assignment conditions
Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu. Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (50%), ocena z egzaminu (50%). Prowadzący może podnieść tę ocenę w uznaniu za szczególne zasługi studenta.
Recommended reading
1. Aleksiej I. Kostrikin, Wstęp do algebry, t. 2, PWN, Warszawa 2004.
2. M. Aigner, G. M. Ziegler, Dowody z Księgi, PWN, Warszawa 2002.
Further reading
1. Andrzej Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976
2. Jacek Gancarzewicz, Algebra liniowa i jej zastosowania, Wyd. Uniw. Jagiellońskiego, Kraków 2004
3. J. Matoušek, Lectures on discrete geometry, Springer, 2002
4. H. Hopf, Differential Geometry in the Large, LNM 1000, Springer, 1989
Notes
Modified by dr Alina Szelecka (last modification: 05-06-2020 12:23)
