1. SylabUZ
2. Faculty of Mathematics, Computer Science and Econometrics
3. winter term 2020/2021
4. Mathematics - First-cycle studies leading to Bachelor's degree
5. Logic and Set Theory

Generate PDF for this page

Logic and Set Theory - course description

Aim of the course

Poznanie podstawowych pojęć i metod w zakresie logiki i teorii mnogości.

Prerequisites

Save changes

Wiedza matematyczna w zakresie szkoły średniej.

Scope

WYKŁAD

1. Rachunek zdań. Spójniki logiczne. Wartościowanie. Tautologie. Podstawowe reguły dowodzenia. (3 godz.)
2. Zbiory. Relacje należenia i zawierania; równość zbiorów. Funkcja zdaniowa. Operacje na zbiorach: suma, przekrój, różnica, różnica symetryczna, dopełnienie; prawa rachunku zbiorów, prawa de Morgana. Iloczyn kartezjański dwu zbiorów. (3 godz.)
3. Kwantyfikatory. Definicja, podstawowe własności. Operacje na dowolnych rodzinach zbiorów. (2 godz.)
4. Relacje i funkcje. Dziedzina i przeciwdziedzina. Podstawowe typy relacji. Funkcje jako relacje. Indeksowane rodziny zbiorów: sumy, przekroje, prawa de Morgana. Funkcje zdaniowe – wyróżnianie podzbiorów. Injekcje, surjekcje, bijekcje; obcięcie i przedłużenie funkcji; składanie funkcji; funkcje odwrotne. Obrazy i przeciwobrazy. Sposoby określania funkcji. (4 godz.)
5. Indukcja matematyczna. Aksjomatyka Peana. Zasada indukcji matematycznej i jej równoważne formy. Ciągi rekurencyjne. Zliczanie zbiorów skończonych; zasada włączania-wyłączania. (3 godz.)
6. Relacje c.d. Relacje równoważności: klasy abstrakcji a podziały; konstrukcje ilorazowe: zbiór liczb wymiernych. Produkty uogólnione; relacje wieloczłonowe. (3 godz.)
7. Moc zbioru. Zbiory skończone; zbiory przeliczalne: przeliczalność zbioru: liczb całkowitych, liczb wymiernych i liczb algebraicznych. Twierdzenie Cantora-Bernsteina. Twierdzenie Cantora  o zbiorach potęgowych; nieprzeliczalność rodziny wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych. Nieprzeliczalność zbioru liczb rzeczywistych; inne zbiory mocy continuum: produkt zbiorów mocy continuum. Hipoteza continuum. Rachunek mocy (7 godz.)
8. Relacje porządkujące. Częściowe porządki: elementy wyróżnione: element największy, maksymalny, kres górny itp.; kraty zupełne – twierdzenie  Tarskiego o punkcie stałym; izomorfizm zbiorów częściowo uporządkowanych: realizacja częściowego porządku w formie inkluzji. Relacje preferencji. Porządki liniowe gęste, ciągłe, dobre. (3 godz.)
9. Aksjomat wyboru. Twierdzenie Hausdorffa  o istnieniu łańcucha maksymalnego. Lemat Kuratowskiego-Zorna; istnienie baz Hamela. Zasada dobrego uporządkowania; liczby kardynalne. (2 godz.)

ĆWICZENIA

1. Rachunek zdań. Obliczanie wartości zdania w zależności od wartości zmiennych. Sprawdzanie czy zdanie jest tautologią. Zdania równoważne – zapisywanie zdania równoważnego za pomocą danych spójników. (3 godz.)
2. Zbiory. Operacje na zbiorach: sprawdzanie równości zawierania zbiorów określonych za pomocą innych działań. Dowody prostych zależności zachodzących między zbiorami. (3 godz.)
3. Kwantyfikatory. Zapisywanie twierdzeń z użyciem kwantyfikatorów i symboli logicznych. (3 godz.)
4. Relacje i funkcje. Sprawdzanie własności relacji i funkcji. Wyznaczanie dziedziny i przeciwdziedziny relacji i funkcji. Składanie funkcji. Manipulowanie indeksowanymi rodzinami zbiorów. Obrazy i przeciwobrazy zbiorów. (3 godz.)
5. Kolokwium (2 godz.)
6. Indukcja matematyczna. Przykłady rozumowań indukcyjnych. Funkcje określone indukcyjnie – wyznaczanie wartości, badanie własności. (3 godz.)
7. Relacje c.d. Sprawdzanie czy dana relacja jest równoważności. Zastosowania relacji równoważności w prostych konstrukcjach algebraicznych. (3 godz.)
8. Moc zbioru. Porównywanie mocy zbiorów. Przykłady zbiorów przeliczalnych i mocy continuum (zbiór Cantora). (5 godz.)
9. Relacje porządkujące. Sprawdzanie własności relacji porządkujących. Przykłady gęstych podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych. Przykłady krat zupełnych. Przykłady zbiorów dobrze uporządkowanych innych niż zbiór liczb naturalnych. Element graniczny, indukcja pozaskończona. (3 godz.)
10. Kolokwium (2 godz.)

Teaching methods

Tradycyjny wykład; ćwiczenia, w ramach których studenci rozwiązują zadania.

Learning outcomes and methods of theirs verification

Outcome description	Outcome symbols	Methods of verification	The class form

Assignment conditions

Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu. Egzamin składa się z kilkunastu zadań. Na jedno zadanie składa się kilka stwierdzeń, których prawdziwość należy rozstrzygnąć. Dla wybranych stwierdzeń należy podać uzasadnienie: ,,To stwierdzenie jest prawdziwe (fałszywe), bo...” Forma egzaminu może ulec zmianie.

Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń.

Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (40%), ocena z egzaminu (60%). Prowadzący może podnieść ocenę o pół stopnia, jeśli uzna, że student na to zasługuje (np. ponadprzeciętne zaangażowanie studenta; interesujące rozwiązanie zadania itp.)

Recommended reading

1. W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki, PWN, Warszawa, 2005.
2. W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wstęp do matematyki. Zbiór zadań, PWN, Warszawa, 2005.
3. H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN. (wiele wydań).

Further reading

1. W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN. (wiele wydań)
2. J. Cichoń, Wykłady ze wstępu do matematyki, Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne, Wrocław, 2003.

Książki wpisane jako literatura uzupełniająca wystarczają do studiowania przedmiotu.

Notes

Modified by dr Alina Szelecka (last modification: 05-06-2020 12:18)