1. SylabUZ
2. Faculty of Mathematics, Computer Science and Econometrics
3. winter term 2020/2021
4. Mathematics - First-cycle studies leading to Bachelor's degree
5. Mathematical Analysis 2

Generate PDF for this page

Mathematical Analysis 2 - course description

Aim of the course

Zapoznanie studenta z metodą rózniczkową badania ekstremów i wypukłości funkcji, z pojęciami pierwotnej i całki Riemanna. Nacisk położony jest na opanowanie technik rachunkowych, w szczególności całkowania, a także na zastosowania rachunku różniczkowego i całkowego. Kolejnym celem jest przeniesienie podstaw rachunku różniczkowego na funkcje wielu zmiennych.

Prerequisites

Save changes

Analiza matematyczna 1. Logika i teoria mnogości. Algebra liniowa 1.

Scope

Wykład

I. Elementarny rachunek różniczkowy II

1. Ekstrema lokalne (1 godz.)
2. Charakteryzacja wypukłości funkcji (1 godz.)
3. Zbieżność jednostajna a różniczkowanie. Różniczkowanie szeregów potęgowych. Szereg Taylora (2  godz.)
4. Różniczkowalność funkcji elementarnych (1 godz.)
5. Funkcja pierwotna (2 godz.)
6. Algorytm całkowania funkcji wymiernych (materiał winien być opanowany przez studenta samodzielnie, na podstawie materiałów wskazanych przez wykładowcę)
7. Pochodna funkcji zmiennej zespolonej (informacyjnie) (1 godz.)

II. Zastosowania rachunku różniczkowego (materiał do opracowania przez studentów w zespołach, w formie pisemnej, na podstawie materiałów wskazanych przez wykładowcę)

1. Ruch prostoliniowy.
2. Zastosowania w geometrii.
3. Różniczka i obliczenia przybliżone.
4. Metoda Newtona.
5. Zastosowania w ekonomii.

III. Elementarny rachunek całkowy

1. Całka Riemanna i pole. Podstawowe własności całki. Twierdzenie o wartości średniej (8 godz.)
2. Całkowanie a różniczkowanie. Twierdzenie Newtona-Leibniza i jego konsekwencje (3 godz.)
3. Zbieżność jednostajna a całkowanie. Całkowanie szeregów potęgowych (2 godz.)
4. Całka niewłaściwa (4 godz.)

IV. Techniki całkowania

1. Podstawienia trygonometryczne (2 godz.)
2. Podstawienia Eulera (2 godz.)
3. Całkowanie numeryczne: wzór trapezów i metoda Simpsona (materiał winien być opanowany przez studenta samodzielnie, na podstawie materiałów wskazanych przez wykładowcę).

V. Zastosowania rachunku całkowego

1. Przykłady zastosowań całek w geometrii: pole obszaru, objętość bryły obrotowej, pole powierzchni obrotowej (2 godz.)
2. Środek masy i momenty. Twierdzenie Pappusa (materiał winien być opanowany przez studenta samodzielnie, na podstawie materiałów wskazanych przez wykładowcę).
3. Praca i ciśnienie (materiał winien być opanowany przez studenta samodzielnie, na podstawie materiałów wskazanych przez wykładowcę).

VI. Współrzędne biegunowe i równania parametryczne

1. Układ biegunowy. Krzywe we współrzędnych biegunowych. Pole obszaru ograniczonego krzywą. Długość krzywej (3 godz.)
2. Równania parametryczne krzywej na płaszczyźnie. Styczna do krzywej. Długość krzywej (2 godz.)

VII. Przestrzenie kartezjańskie

1. Skalary i wektory (1 godz.)
2. Współrzędne cylindryczne i sferyczne (1 godz.)

VIII. Funkcje wielu zmiennych

1. Poziomice funkcji dwóch i trzech zmiennych (1 godz.)
2. Granica i ciągłość (5 godz.)

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych I

1. Pochodne kierunkowe i cząstkowe. Macierz Jacobiego i gradient (2 godz.)
2. Różniczka i różniczkowalność (7 godz.)
3. Interpretacja geometryczna różniczkowalności. Płaszczyzna styczna i prosta normalna (2 godz.)
4. Odwzorowania regularne i dyfeomorfizmy (2 godz.)
5. Twierdzenie o funkcji uwikłanej (3 godz.)

Ćwiczenia

I. Elementarny rachunek różniczkowy II

1. Wyznaczanie ekstremów lokalnych i globalnych. Dowodzenie nierówności przy pomocy badania ekstremów. Badanie przebiegu zmienności funkcji (6 godz.)
2. Badanie zbieżności jednostajnej ciągów i szeregów funkcyjnych (2 godz.)
3. Rozwijanie funkcji w szereg Taylora (4 godz.)

III. Elementarny rachunek całkowy, IV. Techniki całkowania i V. Zastosowania rachunku całkowego  

1. Obliczanie całek z definicji (2 godz.)
2. Całkowanie przez części i przez podstawienie. Algorytm całkowania funkcji wymiernych. Użycie twierdzenia Newtona-Leibniza (10 godz.)

Kolokwium (2 godz.)

1. Przechodzenie do granicy pod znakiem całki i całkowanie szeregów funkcyjnych (2 godz.)
2. Obliczanie pól obszarów i objętości brył (3 godz.)
3. Wyznaczanie środka ciężkości i obliczanie pracy (1 godz.)

VI. Współrzędne biegunowe i równania parametryczne

1. Przechodzenie od współrzędnych kartezjańskich do biegunowych i na odwrót (2 godz.)
2. Obliczanie pól obszarów i długości krzywych, opisanych równaniami biegunowymi (2 godz.)
3. Znajdywanie stycznej do krzywej zadanej parametrycznie. Obliczanie pól obszarów i długości krzywych, opisanych równaniami parametrycznymi (3 godz.)

VII. Przestrzenie kartezjańskie

1. Opisywanie powierzchni we współrzędnych sferycznych i cylindrycznych (1 godz.)

Kolokwium (2 godz.)

VIII. Funkcje wielu zmiennych

1. Granica i ciągłość funkcji. Granice iterowane. Ciągłość ze względu na poszczególne zmienne (3 godz.)

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych I

1. Znajdowanie pochodnych kierunkowych, pochodnej i różniczki (5 godz.)
2. Wyznaczanie stycznych i normalnych (2 godz.)
3. Badanie regularności i dyfeomorficzności odwzorowań (3 godz.)
4. Badanie zagadnienia funkcji uwikłanej (3 godz.)

Kolokwium (2 godz.)

 

Teaching methods

Tradycyjny wykład; ćwiczenia, w ramach których studenci rozwiązują zadania i dyskutują, a także przygotowują notki biograficzne matematyków, których nazwiska pojawiają się na wykładzie; praca w grupach zakończona opracowaniem pisemnym; praca z książką i przy pomocy Internetu.

Learning outcomes and methods of theirs verification

Outcome description	Outcome symbols	Methods of verification	The class form

Assignment conditions

1. Trzy kolokwia z zadaniami o zróżnicowanym stopniu trudności, pozwalającymi na sprawdzenie, czy student osiągnął efekty kształcenia w stopniu minimalnym.
2. Egzamin w postaci testu z progami punktowymi.

Ocena z przedmiotu jest średnią arytmetyczną oceny z ćwiczeń i oceny z egzaminu. Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu.

Recommended reading

1. Witold Jarczyk,  Notatki do wykładu z analizy matematycznej, http://www.wmie.uz.zgora.pl/~`wjarczyk/materialy.html
2. Witold Jarczyk, Zadania z analizy matematycznej, http://www.wmie.uz.zgora.pl/~`wjarczyk/materialy.html

Further reading

1. Józef Banaś, Stanisław Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1993.
2. Andrzej Birkholc, Analiza Matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2002.
3. Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1986.
4. Walter Rudin, Podstawy analizy matematycznej,  Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2002.

Notes

Modified by dr Alina Szelecka (last modification: 05-06-2020 12:18)