Zapoznanie studenta z podstawowymi zagadnieniami teorii równań różniczkowych, takimi jak znajdowanie rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego i drugiego oraz układów równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego, istnienie i jednoznaczność rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych, badanie stabilności punktów osobliwych oraz tworzenie portretów fazowych układów liniowych na płaszczyźnie.
Prerequisites
Analiza matematyczna 1 i 2 oraz Algebra liniowa 1 i 2.
Scope
Wykład
Podstawowe pojęcia: równania różniczkowe zwyczajne rzędu n-tego, układ równań różniczkowych zwyczajnych rzędu n-tego, rozwiązanie, przedłużenie rozwiązania, rozwiązanie wysycone, rozwiązanie ogólne i szczególne, krzywe całkowe, całki pierwsze, przestrzeń fazowa. (2 godz.)
Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego.
Przykłady zjawisk prowadzących do równań różniczkowych. Interpretacja geometryczna równania różniczkowego. Równania o zmiennych rozdzielonych i typy równań sprowadzalnych do równań o zmiennych rozdzielonych. Równania liniowe i sprowadzalne do równań liniowych (równanie Bernoulliego, równanie Riccatiego). Równania zupełne. (5 godz.)
Istnienie i jednoznaczność rozwiązań lokalnych zagadnień początkowych.
Zagadnienie Cauchy’ego dla równań różniczkowych. Twierdzenie Picarda-Lindelöfa. Lemat Gronwella. Twierdzenie Peano. Przedłużalność rozwiązań zagadnienia początkowego. Zależność rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego od danych początkowych i prawej strony równania. (6 godz.)
Równania różniczkowe drugiego rzędu.
Motywacja fizyczna. Typy równań drugiego rzędu sprowadzalnych do równań rzędu pierwszego. Równania liniowe drugiego rzędu. (4 godz.)
Układy równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu.
Istnienie i jednoznaczność rozwiązań. Układy jednorodne, macierz fundamentalna. Układy o stałych współczynnikach. Układy niejednorodne. (6 godz.)
Elementy jakościowej teorii równań różniczkowych.
Klasyfikacja i stabilność punktów osobliwych układów liniowych na płaszczyźnie. Portrety fazowe układów liniowych. Klasyfikacja i stabilność punktów osobliwych układów nieliniowych na płaszczyźnie. Stabilność w sensie Lapunowa. Funkcja Lapunowa i podstawowe twierdzenia o stabilności. (7 godz.)
Ćwiczenia
Wyznaczanie rozwiązań typowych równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego: równania o zmiennych rozdzielonych oraz równania sprowadzalne do nich, równania liniowe, równania Bernoulliego, równania Riccatiego, równania zupełne. Rozwiązywanie zadań ,,z treścią’’ poprzez opisywanie występujących w nich zjawisk fizycznych równaniami różniczkowymi zwyczajnymi rzędu pierwszego. (8 godz.)
Rozwiązywanie zadań wykorzystujących twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań lokalnych zagadnień początkowych. (3 godz.)
Kolokwium. (2 godz.)
Wyznaczanie rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych rzędu drugiego poprzez sprowadzenie ich do równań rzędu pierwszego. Znajdowanie rozwiązań równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego. (5 godz.)
Wyznaczanie rozwiązań układów równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu – znajdowanie macierzy fundamentalnej. (5 godz.)
Badanie stabilności punktów osobliwych układów równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu. Szkicowanie portretów fazowych. (5 godz.)
Kolokwium. (2 godz.)
Teaching methods
Tradycyjny wykład; ćwiczenia audytoryjne, w ramach których studenci rozwiązują zadania.
Learning outcomes and methods of theirs verification
Outcome description
Outcome symbols
Methods of verification
The class form
Assignment conditions
Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (40%) i ocena z egzaminu (60%). Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. O ocenie końcowej z ćwiczeń decyduje suma punktów zdobyta podczas dwóch kolokwiów, złożonych z zadań o zróżnicowanym stopniu trudności. O ocenie z egzaminu, na który składają się pytania sprawdzające wiedzę teoretyczną studenta, decyduje suma punktów zdobytych za odpowiedzi na te pytania.
Recommended reading
Andrzej Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne, WNT, Warszawa
Władimir I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa 1975.
Further reading
Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas, Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2008.
Notes
Modified by dr Alina Szelecka (last modification: 05-06-2020 12:18)
