Zapoznanie studenta z teorią równań różniczkowych zwyczajnych ze szczególnym uwzględnieniem teorii jakościowych metod badań równań różniczkowych zwyczajnych.
Prerequisites
Analiza matematyczna 1 oraz 2. Algebra liniowa 1 oraz 2. Pakiety matematyczne.
Scope
Wykład
Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. Podstawowe pojęcia. Interpretacja geometryczna równania różniczkowego. Równania różniczkowe całkowalne w kwadraturach.
Istnienie i jednoznaczność rozwiązań lokalnych zagadnień początkowych. Zagadnienie Cauchy’ego dla równań różniczkowych. Twierdzenia egzystencjalne (twierdzenie Picarda-Lindelöfa, twierdzenie Peano). Przedłużalność rozwiązań zagadnienia początkowego. Zależność rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego od danych początkowych i prawej strony równania.
Równania różniczkowe wyższych rzędów. Typy równań sprowadzalnych do równań rzędu pierwszego. Równania liniowe drugiego rzędu. Zagadnienie brzegowe Sturma-Liouville’a.
Interpretacja dynamiczna układów równań różniczkowych. Układy autonomiczne. Trajektorie fazowe i portrety fazowe. Potoki i orbity. Całki pierwsze.
Układy równań różniczkowych liniowych. Metody rozwiązywania układów liniowych jednorodnych i niejednorodnych. Klasyfikacja i stabilność punktów osobliwych układów liniowych na płaszczyźnie. Portrety fazowe.
Układy nieliniowych równań różniczkowych. Lokalne portrety fazowe. Linearyzacja, twierdzenie Grobmana-Hartmana. Klasyfikacja i stabilność punktów osobliwych układów nieliniowych na płaszczyźnie. Globalne portrety fazowe.
Trajektorie okresowe i cykle graniczne. Zbiory graniczne. Twierdzenie Poincarégo-Bendixsona.
Elementy teorii stabilności. Stabilność w sensie Lapunowa. Twierdzenie Hurwitza. Funkcja Lapunowa i podstawowe twierdzenia o stabilności.
Bifurkacje i chaos. Bifurkacja Hopfa. Model Lorenza.
Wybrane modele różniczkowe w fizyce, biologii, medycynie, ekonomii. Oscylator van der Pola. Układy równań typu Lotki-Volterry. Modele epidemiologiczne. Model Maya. Model Solowa i modele cyklu ekonomicznego.
Ćwiczenia
Rozwiązywanie zadań dotyczących treści przekazywanych na kolejnych wykładach ze szczególnym uwzględnieniem praktycznych zastosowań poznanych pojęć.
Laboratorium
Rozwiązywanie za pomocą pakietu matematycznego zadań związanych z równaniami różniczkowymi ze szczególnym uwzględnieniem aspektu numerycznego.
Teaching methods
Tradycyjny wykład; ćwiczenia, w ramach których studenci rozwiązują zadania; ćwiczenia laboratoryjne w pracowni komputerowej.
Learning outcomes and methods of theirs verification
Outcome description
Outcome symbols
Methods of verification
The class form
Assignment conditions
Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z laboratorium (20%), ćwiczeń (30%) oraz ocena z egzaminu (50%). Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń, zaś warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu. Zarówno o ocenie końcowej z ćwiczeń, jak i laboratorium decyduje suma punktów zdobyta podczas dwóch kolokwiów, złożonych z zadań o zróżnicowanym stopniu trudności. O ocenie z egzaminu, na który składają się pytania sprawdzające wiedzę teoretyczną studenta, decyduje suma punktów zdobytych za odpowiedzi na te pytania.
Recommended reading
A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne, WNT, Warszawa, 1999.
W. I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975.
D. K. Arrowsmith, C.M. Place, Ordinary differential equations, A qualitative approach with applications, Chapman and Hall, London, 1982.
A. Pelczar, J. Szarski, Wstęp do równań różniczkowych zwyczajnych, PWN, Warszawa, 1987.
N. M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych, PWN, Warszawa, 1986.
Further reading
L. S. Pontriagin, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1964.
Ph. Hartman, Ordinary Differential Equations, Wiley, New York, 1964.
Notes
Modified by dr Alina Szelecka (last modification: 05-06-2020 12:21)
