1. SylabUZ
2. Faculty of Mathematics, Computer Science and Econometrics
3. winter term 2020/2021
4. Mathematics - Second-cycle studies leading to MS degree
5. Partial Differential Equations

Generate PDF for this page

Partial Differential Equations - course description

Aim of the course

Głównym celem tego przedmiotu jest nabycie przez studenta umiejętności rozwiązywania zagadnień początkowo-brzegowych dla liniowych równań różniczkowych I i II rzędu metodami charakterystyk, rozdzielania zmiennych, transformaty Fouriera oraz poznanie podstaw teorii przestrzeni Sobolewa i tzw. słabych sformułowań wyjściowych zagadnień dla równań różniczkowych cząstkowych.

Prerequisites

Save changes

Analiza matematyczna 1 i 2, Analiza funkcjonalna, Algebra liniowa.

Scope

Wykład

1. Podstawowe definicje - równania liniowe, semiliniowe, nieliniowe, zagadnienia Cauchy’ego, typy zagadnień brzegowych, powierzchnie charakterystyczne.
2. Równania rzędu pierwszego. Metoda charakterystyk. Metoda Lagrange’a. Twierdzenia Cauchy’ego-Kowalewskiej.
3. Równania rzędu drugiego. Klasyfikacja równań rzędu drugiego.
   Równania eliptyczne – podstawowe własności funkcji harmonicznych, rozwiązanie fundamentalne równania Laplace’a oraz Poissona, zasady maksimum, funkcja Greena dla równania eliptycznego.
   Równania paraboliczne - rozwiązanie fundamentalne zagadnienia Cauchy’ego dla równania przewodnictwa cieplnego, zasady maksimum, metoda rozdzielania zmiennych.
   Równania hiperboliczne – wzór d’Alemberta, wzory na rozwiązanie równania struny w yższych wymiarach, zasada Duhamela.
4. Transformata Fouriera i jej zastosowanie w teorii równań różniczkowych cząstkowych.
5. Elementy teorii przestrzeni Sobolewa.
   Słabe pochodne.
   Przestrzenie Sobolewa.
   Aproksymacja elementów przestrzeni Sobolewa funkcjami gładkimi.
   Ślad funkcji.
   Nierówności typu Sobolewa.
6. Słabe rozwiązania równań drugiego rzędu - metody Ritza oraz Galerkina.

Ćwiczenia

Rozwiązywanie zadań dotyczących treści przekazywanych na kolejnych wykładach ze szczególnym uwzględnieniem praktycznych zastosowań poznanych pojęć.

Laboratorium

Rozwiązywanie za pomocą pakietu matematycznego zadań związanych z równaniami różniczkowymi cząstkowymi.

Teaching methods

Tradycyjny wykład; ćwiczenia, w ramach których studenci rozwiązują zadania; ćwiczenia laboratoryjne w pracowni komputerowej.

Learning outcomes and methods of theirs verification

Outcome description	Outcome symbols	Methods of verification	The class form

Assignment conditions

Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z laboratorium (25%), ćwiczeń (25%) oraz ocena z egzaminu (50%). Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń, zaś warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu. Zarówno o ocenie końcowej z ćwiczeń, jak i laboratorium decyduje suma punktów zdobyta podczas dwóch kolokwiów, złożonych z zadań o zróżnicowanym stopniu trudności. O ocenie z egzaminu, na który składają się pytania sprawdzające wiedzę teoretyczną studenta, decyduje suma punktów zdobytych za odpowiedzi na te pytania.

Recommended reading

1. Warsztaty z Równań Różniczkowych Cząstkowych, pod red. naukowa prof. dr. hab. P. Bilera, Torun, 2003.
2. Evans, L., Równania różniczkowe cząstkowe, PWN, 2002.
3. Marcinkowska, H., Dystrybucje, przestrzenie Sobolewa, równania różniczkowe, PWN, 1993.

Further reading

1. Strzelecki, P., Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych, Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2006.

Notes

Modified by dr Alina Szelecka (last modification: 05-06-2020 12:21)