1. SylabUZ
2. Faculty of Mathematics, Computer Science and Econometrics
3. winter term 2021/2022
4. Mathematics - Second-cycle studies leading to MS degree
5. Stochastic Processes 2

Generate PDF for this page

Stochastic Processes 2 - course description

Aim of the course

Po ukończeniu kursu procesów stochastycznych 2 student powinien być przygotowany do samodzielnego studiowania zagadnień praktycznych i teoretycznych wymagających znajomości tego przedmiotu.

Prerequisites

Save changes

Zaliczony przedmiot rachunek prawdopodobieństwa.

Scope

Wykład

Zagadnienia wstępne (10 godz.):

1. Miejsce i rola teorii procesów stochastycznych w rozwiązywaniu problemów praktycznych: zagadnienie wzrostu populacji, ruch Browna, teoria sygnałów (4 godz.).
2. Podstawowe pojęcia i własności z teorii zmiennych losowych, elementy analizy stochastycznej (1 godz.).
3. Procesy stochastyczne: definicje i podstawowe własności, twierdzenie Kołmogorowa (2 godz.).
4. Proces Wienera: istnienie, konstrukcja i podstawowe własności (3 godz.).

Elementy stochastycznej analizy średniokwadratowej (20 godz.):

1. Proces II rzędu (Hilberta) i jego interpretacja w języku analizy funkcjonalnej. Rodzaje zbieżności procesu stochastycznego i związki między nimi (2 godz.).
2. Ciągłość i różniczkowalność średniokwadratowa procesu Hilberta (6 godz.).
3. Średniokwadratowe całki Riemanna i Lebesgue’a (2 godz.).
4. Kryteria całkowalności średniokwadratowej (4 godz.).
5. Wahanie funkcji, proces stochastyczny o wahaniu skończonym (2 godz.).
6. Twierdzenia o istnieniu całek Riemanna-Stieltjesa i Lebesgue’a-Stieltjesa „po trajektoriach” (2 godz.)
7. Związki z całkami średniokwadratowymi (2 godz.).

Stochastyczna całka Itô (15 godz):

1. Filtracja generowana przez proces Wienera i procesy adaptowalne (1 godz.).
2. Procesy proste i całki z procesu prostego względem procesu Wienera (2 godz.).
3. Zbieżność procesów prostych do procesu z  M^[a,b] i zbieżność całek z procesów prostych w L² (Ω) (2 godz.).
4.  Stochastyczna całka Itô dla procesu z klasy M^[a,b]  i jej własności (2 godz.).
5. Różniczka stochastyczna, formuła Itô i jej zastosowania (4 godz.).
6. Informacja o stochastycznych równaniach różniczkowych (4 godz.).
7. Ćwiczenia
8. Badanie parametrów i własności zmiennych losowych (1 godz.).
9. Procesy stochastyczne: badanie podstawowych własności (2 godz.).
10. Badanie różnych typów zbieżności procesów stochastycznych (2 godz.).
11. Badanie ciągłości i różniczkowalności średniokwadratowej wybranych procesów Hilberta (2godz.).
12. Obliczanie różniczek stochastycznych różnych procesów (2godz.).
13. Stosowanie formuły Itô (2 godz.).
14. Rozwiązywanie stochastycznych równań różniczkowych (2 godz.).
15. Kolokwium. (2 godz.).

Teaching methods

Tradycyjny wykład; ćwiczenia, w ramach których studenci rozwiązują zadania;

Learning outcomes and methods of theirs verification

Outcome description	Outcome symbols	Methods of verification	The class form

Assignment conditions

Kolokwium z zadaniami o zróżnicowanym stopniu trudności, pozwalającymi na ocenę, czy student osiągnął efekty kształcenia w stopniu minimalnym.

Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (40%) i ocena z egzaminu (60%). Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z ćwiczeń i egzaminu.

Recommended reading

1. R. Lipcer, A. Sziriajew, Statystyka procesów stochastycznych, PWN 1981.
2. K. Sobczyk, Stochastyczne równania różniczkowe, WNT 1996.
3. M. Fisz, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN 1958.

Further reading

1. E. Parzen, Stochastic processes, Holden-Day Inc. 1962,
2. C.W. Gardiner, Handbook of stochastic methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences, Springer-Verlag 1985.

Notes

Modified by dr Alina Szelecka (last modification: 05-05-2021 13:36)