1. SylabUZ
2. Faculty of Mathematics, Computer Science and Econometrics
3. winter term 2022/2023
4. Mathematics - First-cycle studies leading to Bachelor's degree
5. Linear Algebra 2

Generate PDF for this page

Linear Algebra 2 - course description

Aim of the course

Po ukończeniu kursu algebry liniowej student powinien być przygotowany do samodzielnego studiowania zagadnień praktycznych i teoretycznych wymagających znajomości tego przedmiotu. Celem każdego studiującego powinno być opanowanie zalecanego podręcznika Kostrikina.

Prerequisites

Save changes

Zaliczona: Algebra liniowa 1.

Scope

Wykład

Układy równań liniowych

1. Istnienie rozwiązań (2 godz.)
2. Fundamentalny układ rozwiązań; wymiar przestrzeni rozwiązań. (2 godz.)
3. Postać rozwiązania dla układu Ax=b, gdy A jest macierzą odwracalną. (1 godz.)
4. Metoda eliminacji Gaussa. (1 godz.)
5. Równanie charakterystyczne; wektor własny; wartość własna; przykład, zastosowania (3 godz.)

Rozkład Jordana

1. Suma algebraiczna podprzestrzeni liniowych; suma prosta. (1 godz.)
2. Endomorfizmy liniowe nilpotentne; klatki Jordana. Podprzestrzenie niezmiennicze endomorfizmu. (2 godz.)
3. Rozkład Jordana endomorfizmu; postać Jordana macierzy endomorfizmu. (2 godz.)

Przestrzenie euklidesowe

1. Twierdzenie cosinusów — geometryczna definicja iloczynu skalarnego; iloczyn skalarny we współrzędnych kartezjańskich i jego własności. (1 godz.)
2. Formalna definicja iloczynu skalarnego; norma; nierówność Schwarza; kąt między wektorami, nierówność trójkąta, tożsamość równoległoboku. (2 godz.)
3. Ortogonalność: twierdzenie Pitagorasa, baza ortonormalna (1 godz.)
4. Procedura ortogonalizacyjna Grama–Schmidta, istnienie bazy ortonormalnej, rozkład wektora w bazie ortonormalnej, dopełnienie ortogonalne. (3 godz.)
5. Izomorfizm przestrzeni euklidesowych; izomorfizm przestrzeni i jej dualnej (1 godz.)
6. Odwzorowanie liniowe sprzężone; twierdzenie spektralne dla odwzorowań samosprzężonych. (3 godz.)

Formy wieloliniowe

1. Odwzorowania wieloliniowe; formy wieloliniowe: formy skośne, formy symetryczne.
2. Formy dwuliniowe symetryczne; macierz formy dwuliniowej w zadanym układzie współrzędnych.
3. Diagonalizacja formy dwuliniowej; prawo bezwładności form dwuliniowych.
4. Formy kwadratowe; formuła polaryzacyjna — odpowiedniość między formami dwuliniowymi a kwadratowymi; postać normalna formy kwadratowej. (5 godz.)

Ćwiczenia

Układy równań liniowych

1. Sprawdzanie niesprzeczności układu równań (2 godz.)
2. Wyznaczanie fundamentalnego układu rozwiązań metodą eliminacji Gaussa (2 godz.)
3. Zadania na wartości własne (4 godz.)
4. Kolokwium (2 godz)

Rozkład Jordana

1. Proste przykłady. Informacja o pakietach do numerycznych. (2 godz.)

Przestrzenie euklidesowe

1. Wyznaczanie kąta między wektorami. Sprawdzanie, czy dana forma jest iloczynem skalarnym. (2 godz.)
2. Procedura ortogonalizacyjna Grama–Schmidta, wyznaczanie bazy ortonormalnej. Wyznacznik Grama i jego interpretacja geometryczna. (5 godz.)
3. Kolokwium. (2 godz.)
4. Diagonalizacja prostych odwzorowań samosprzężonych (4 godz.)

Formy wieloliniowe

1. Macierz formy dwuliniowej; rozkład formy dwuliniowej na część skośną i symetryczną. (1 godz.)
2. Szukanie postaci kanonicznej (normalnej) formy dwuliniowej i kwadratowej 2 godz.)

Kolokwium (2 godz.)

Teaching methods

Tradycyjny wykład; ćwiczenia audytoryjne, w ramach których studenci rozwiązują zadania.

Learning outcomes and methods of theirs verification

Outcome description	Outcome symbols	Methods of verification	The class form

Assignment conditions

Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu. Egzamin składa się z kilkunastu zadań. Na jedno zadanie składa się kilka stwierdzeń, których prawdziwość należy rozstrzygnąć. Dla wybranych stwierdzeń należy podać uzasadnienie: ,,To stwierdzenie jest prawdziwe (fałszywe), bo...” Forma egzaminu może ulec zmianie.

Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń.

Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (40%), ocena z egzaminu (60%). Prowadzący może podnieść ocenę o pół stopnia, jeśli uzna, że student na to zasługuje (np. ponadprzeciętne zaangażowanie studenta; interesujące rozwiązanie zadania itp.)

Recommended reading

1. Aleksiej I. Kostrikin, Wstęp do algebry, t. 1 i 2, PWN, Warszawa 2004.
2. Zbiór zadań z algebry, red. Aleksiej I. Kostrikin, PWN, Warszawa 2005.

Further reading

1. Andrzej Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.
2. Jacek Gancarzewicz, Algebra liniowa i jej zastosowania, Wyd. Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2004.

Notes

Modified by dr Alina Szelecka (last modification: 19-05-2022 21:46)