Celem jest opanowanie przez studenta kursu teorii liczb przewidzianej programem nauczania oraz umiejętność praktycznego jej zastosowania w kryptografii i informatyce.
Prerequisites
Algebra liniowa 1 i 2.
Scope
Wykład
Relacja podzielności w pierścieniu liczb całkowitych (2 godz.).
Najmniejsza wspólna wielokrotność. Największy wspólny dzielnik i algorytm Euklidesa, forma liniowa dla największego wspólnego dzielnika, związek pomiędzy największym wspólnym dzielnikiem a najmniejsza wspólna wielokrotnością. Liczby względnie pierwsze. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki (3 godz.).
Liczby pierwsze. Rozkład kanoniczny liczby naturalnej na czynniki pierwsze. Sito Eratostenesa. Hipoteza Goldbacha. Twierdzenie Dirichleta. (3 godz.).
Równania diofantyczne (3 godz.).
Kongruencje i ich własności. Kongruencje wielomianowe i twierdzenie Lagrange’a. Twierdzenie Wilsona (3 godz.).
Twierdzenie Fermata o rozkładzie liczb pierwszych postaci 4k+1 na sumę dwu kwadratów.
Twierdzenie Chińskie o resztach (3 godz.).
Funkcja Eulera i jej własności. Twierdzenie Eulera i małe twierdzenie Fermata (3 godz.) .
Funkcje arytmetyczne i ich własności. Funkcja Möbiusa i Liouvilla (5 godz.).
Symbol Legendre’a i jego własności. Symbol Jacobiego i jego własności. Liczby Mersenne’a i Fermata. Liczby doskonałe. Dzielniki pierwsze liczb Fermata. Uogólnione ciągi liczb Fermata (5 godz.).
Ćwiczenia:
Dowodzenie własności relacji podzielności (2 godz.).
Szukanie NWW i NWD dla par liczb całkowitych stosując algorytm Euklidesa, przedstawianie NWD za pomocą odpowiedniej formy liniowej, rozwiązywanie zadań z zastosowaniem wzoru obrazującego związek pomiędzy NWD i NWW (3 godz.).
Szukanie liczb pierwszych z zadanego przedziału za pomocą sita Eratostenesa, zastosowanie rozkładu kanonicznego liczby naturalnej do zadań,zastosowanie w zadaniach wyliczonych wartości funkcji p(x) (3 godz.).
Rozwiązywanie równań diofantycznych metodą macierzową (3 godz.).
Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem własności relacji przystawania modulo, dowodzenie pewnych kongruencji z zastosowaniem twierdzenia Wilsona, zastosowanie chińskiego twierdzenia o resztach do zadań (5 godz.).
Obliczanie wartości funkcji Eulera dla liczb naturalnych, obliczanie reszty z dzielenia dwóch liczb naturalnych z zastosowaniem twierdzenia Eulera, obliczaniewartości poszczególnych funkcji arytmetycznych (5 godz.).
Rozwiązywanie kongruencji stosując symbol Legendre'a (4 godz.).
Rozwiązywanie zadań dowodowych z zastosowaniem liczb Fermata i Mersenne'a (5 godz.).
Teaching methods
Wykłady: wykład konwencjonalny.
Ćwiczenia: wspólne rozwiązywanie zadań związanych z tematyką przedmiotu, ćwiczenia obrazujące zastosowanie teorii, dyskusja.
Learning outcomes and methods of theirs verification
Outcome description
Outcome symbols
Methods of verification
The class form
Assignment conditions
Kolokwium końcowe z zadaniami o zróżnicowanym stopniu trudności, pozwalającymi na ocenę, czy student osiągnął efekty kształcenia w stopniu minimalnym.
Uczestnictwo w wykładach i sprawdzian teoretyczny na ostatnim wykładzie.
Na ocenę z przedmiotu składają się pozytywne oceny z ćwiczeń (60%) oraz z wykładu (40%).
Recommended reading
L.E. Dickson, Introduction to the theory of numbers, New York 1957.
W. Narkiewicz, Teoria liczb, PWN, Warszawa 1977.
W. Sierpiński, Elementary Theory of Numbers, PWN, Warszawa 1987.
Further reading
Gribanov, Titov, Sbornik upra-nienii po teorii cisieł, Moskwa 1964.
W. Marzantowicz, P. Zarzycki, Elementy teorii liczb, Gdansk 1985.
W. Narkiewicz, Elementy algebraicznej teorii liczb, WSiP, Warszawa 1974.
Notes
Modified by dr Alina Szelecka (last modification: 19-05-2022 21:46)
