1. SylabUZ
2. Faculty of Mathematics, Computer Science and Econometrics
3. winter term 2022/2023
4. Mathematics - Second-cycle studies leading to MS degree
5. Differential Geometry

Generate PDF for this page

Differential Geometry - course description

Aim of the course

Zapoznanie studentów z podstawami geometrii różniczkowej.

Prerequisites

Save changes

Rachunek różniczkowy wielu zmiennych, algebra liniowa, topologia.

Scope

Wykład

Lokalna teoria krzywych

1. Parametryzacja krzywej, parametryzacja unormowana (2 godz.)
2. Długość krzywej (1 godz.)
3. Trójnóg Freneta (1 godz.)
4. Wzory Freneta (1 godz.)
5. Krzywizna i skręcenie krzywej (1 godz.)
6. Charakteryzacje krzywych za pomocą krzywizny i skręcenia (2 godz.)
7. Postać kanoniczna krzywej (1 godz.)

   Globalna teoria krzywych

1. Podstawowe twierdzenie teorii krzywych
2. Wzór Croftona (1 godz.)
3. Twierdzenie Fenchela (2 godz.)
4. Twierdzenie Schura (1 godz.)
5. Twierdzenie o czterech wierzchołkach (1 godz.)
6. Nierówność izoperymetryczna (1 godz.)

   Lokalna teoria powierzchni

1. Parametryzacje powierzchni (2 godz.)
2. Pierwsza forma podstawowa (1 godz.)
3. Pole powierzchni (1 godz.)
4. Operator kształtu (2 godz.)
5. Druga forma podstawowa (1 godz.)
6. Krzywizna Gaussa i krzywizna średnia (1 godz.)
7. Theorema Egregium (2 godz.)

   Globalna teoria powierzchni

1. Twierdzenie Liebmanna (1 godz.)
2. Podstawowe twierdzenie teorii powierzchni (1 godz.)

   Powierzchnie minimalne

1. Przykłady powierzchni minimalnych (1 godz.)
2. Bańki mydlane jako fizyczny model powierzchni minimalnych  (2 godz.)

Ćwiczenia

Lokalna teoria krzywych

1. Wyznaczanie parametryzacji krzywych. (3 godz.)
2. Parametryzacje unormowane (1 godz.)
3. Obliczanie długość krzywej (1 godz.)
4. Wyznaczanie trójnogu Freneta i (2 godz.)
5. Obliczanie krzywizny i skręcenia krzywych (2 godz.)
6. Wyznaczanie krzywych na podstawie krzywizny i skręcenia (2 godz.)

   Globalna teoria krzywych

1. Wyznaczanie wierzchołków krzywych (1 godz.)

   Lokalna teoria powierzchni

2. Wyznaczanie parametryzacji powierzchni (3 godz.)
3. Rzut stereograficzny (1 godz.)
4. Wyznaczanie współczynników pierwszej formy (1 godz.)
5. Obliczanie pole powierzchni (1 godz.)
6. Wyznaczanie drugiej formy  (1 godz.)
7. Omawianie zagadnień związanych z operatorem kształtu z wykorzystaniem modeli powierzchni wykonanych z mas plastycznych (2 godz.)
8. Wyznaczanie macierzy operatora kształtu (1 godz.)
9. Obliczanie krzywizny Gaussa i krzywizny średniej (2 godz.)
10. Geodezyjne (1 godz.)

    Powierzchnie minimalne

1. Powierzchnie minimalne w sztuce – przykłady z Internetu (1 godz.)
2. Eksperymenty na bańkach mydlanych. (2 godz.)

   Kolokwium (2 godz.)

Teaching methods

Wykład konwencjonalny z naciskiem na wspólne dyskutowanie omawianych problemów. Na ćwiczeniach studenci wspólnie rozwiązują zadania (na ogół podane z tygodniowym wyprzedzeniem). Preferowane są dyskusje przy tablicy z udziałem wielu studentów. Zakłada się stały dostęp do sieci (wszelkie przykłady, zwłaszcza grafika, animacje).

Learning outcomes and methods of theirs verification

Outcome description	Outcome symbols	Methods of verification	The class form

Assignment conditions

1. Warunkiem zaliczenia ćwiczeń jest pozytywna ocena z kolokwium. Dopuszcza się wygłoszenie referatu na temat geometrii różniczkowej. Temat ma być wybrany samodzielnie przez studenta. Referaty mogą być opracowane przez grupę dwóch, trzech studentów. Temat referatu musi być zaakceptowany przez ogół studentów i prowadzącego ćwiczenia.
2. Egzamin jest w formie pisemnej z możliwością dyskusji rozwiązań między egzaminatorem, a egzaminowanym studentem.

   Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (40%) oraz ocena z egzaminu (60%). Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu.

Recommended reading

1. T. Shifrin, Differential Geometry: A First Course in Curves and Surfaces, 2007. (www.math.uga.edu/~shifrin/ShifrinDiffGeo.pdf)
2. J. Oprea, Geometria różniczkowa I jej zastosowania,  PWN, Warszawa, 2002.

Further reading

1. H. Hopf, Differential Geometry in the Large, Springer, 1983.

Notes

Modified by dr Alina Szelecka (last modification: 19-05-2022 21:45)