1. SylabUZ
2. Faculty of Mathematics, Computer Science and Econometrics
3. winter term 2022/2023
4. Mathematics - Second-cycle studies leading to MS degree
5. Functional Analysis

Generate PDF for this page

Functional Analysis - course description

Aim of the course

Zapoznanie studentów z podstawowymi własnościami przestrzeni Banacha i Hilberta oraz podstawami teorii operatorów liniowych na przestrzeniach Banacha.

Prerequisites

Save changes

Zakłada się znajomość postaw teorii mnogości, topologii metrycznej, algebry liniowej, analizy matematyczne oraz elementów teorii miary i całki.

Scope

Wykład

Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha

1. Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha. Podstawowe definicje i własności. Przykłady ciągowych i  funkcyjnych przestrzeni Banacha. (3 godz.)
2. Szeregi w przestrzeniach unormowanych. Definicje i przykłady. (1 godz.)
3. Produkt kartezjański przestrzeni unormowanych. Uzupełnienie przestrzeni unormowanej. (2 godz.)
4. Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe. Zupełność przestrzeni skończenie-wymiarowych. Zwartość zbiorów w przestrzeniach skończenie wymiarowych. Twierdzenie Riesza. (3 godz.)

   Operatory liniowe ograniczone na przestrzeniach unormowanych

1. Podstawowe własności liniowych operatorów ograniczonych. Przykłady ograniczonych operatorów liniowych na ciągowych i funkcyjnych przestrzeniach Banacha. (2 godz.)
2. Norma ograniczonego operatora liniowego. Przestrzeń ograniczonych operatorów liniowych. Przestrzeń sprzężona do przestrzeni unormowanej. (2 godz.)
3. Zwarte operatory liniowe na przestrzeniach Banacha. (2 godz.)
4. Zasada jednostajnej ograniczoności i jej zastosowania. (2 godz.)
5. Twierdzenie o operatorze odwrotnym i twierdzenie o domkniętym wykresie . (2 godz.)
6. Twierdzenie Hahna-Banacha i jego zastosowania. (2 godz.)
7. Ogólna postać ciągłych funkcjonałów liniowych nad klasycznymi ciągowymi przestrzeniami Banacha.(2 godz.)

   Przestrzenie Hilberta

1. Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta – podstawowe definicje i własności . Przykłady.
    (2 godz.)
2. Twierdzenie o rzucie ortogonalnym w przestrzeniach Hilberta i jego zastosowania.  2 godz.)
3. Ogólna postać ciągłych funkcjonałów liniowych na przestrzeniach Hilberta. (1 godz.)
4. Układy ortogonalne w przestrzeniach Hilberta. Szeregi Fouriera w przestrzeniach Hilberta. (4 godz.)

   Ćwiczenia

   Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha

1. Przykłady ciągowych i funkcyjnych przestrzeni liniowych. Podstawowe własności. Nierówności Holdera i Minkowskiego. (3 godz.)
2. Sprawdzanie warunków normy na przestrzeniach ciągowych i funkcyjnych. Wykazywanie zupełności klasycznych  ciągowych i funkcyjnych przestrzeni unormowanych. (3 godz.)
3. Wyznaczanie  normy elementów w przestrzeniach ciągowych i funkcyjnych. (3 godz.)
4. Porównywanie norm w przestrzeniach unormowanych. (1 godz.)
5. Kolokwium. (2 godz.)

   Operatory liniowe ograniczone na przestrzeniach unormowanych

1. Sprawdzanie liniowości i ograniczoności funkcjonałów i operatorów określonych na ciągowych i funkcyjnych przestrzeniach unormowanych. (3 godz.)
2. Wyznaczanie normy funkcjonałów unormowanych na ciągowych i funkcyjnych przestrzeniach. (3 godz.)

   Przestrzenie Hilberta

1. Przykłady przestrzeni  Hilberta. Podstawowe własności. (2 godz.)
2. Sprawdzanie warunków iloczynu skalarnego w przestrzeniach ciągowych i funkcyjnych. (2 godz.)
3. Badanie własności geometrycznych i topologicznych  przestrzeni Hilberta. (4 godz.)
4. Badanie układów ortogonalnych w przestrzeniach Hilberta (2 godz.)
5. Kolokwium.(2 godz.).

Teaching methods

Wykład konwencjonalny . Ćwiczenia audytoryjne , rozwiązywanie zadań i problemów

Learning outcomes and methods of theirs verification

Outcome description	Outcome symbols	Methods of verification	The class form

Assignment conditions

Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (40%) oraz ocena z egzaminu (60%). Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu.

Recommended reading

1. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.
2. T. Pytlik, Analiza funkcjonalna, Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego 2000.
3. S. Prus , A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach , PWN, Warszawa 2007.

Further reading

1. J . Chmieliński, Analiza funkcjonalna – notatki do wykładu, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 1999.
2. J. Górniak ,T. Pytlik, Analiza funkcjonalna w zadaniach, Politechnika Wrocławska, 1992.

Notes

Modified by dr Alina Szelecka (last modification: 19-05-2022 21:45)