Zapoznanie studenta z metodą rózniczkową badania ekstremów i wypukłości funkcji, z pojęciami pierwotnej i całki Riemanna. Nacisk położony jest na opanowanie technik rachunkowych, w szczególności całkowania, a także na zastosowania rachunku różniczkowego i całkowego. Kolejnym celem jest przeniesienie podstaw rachunku różniczkowego na funkcje wielu zmiennych.
Wymagania wstępne
Analiza matematyczna 1. Logika i teoria mnogości. Algebra liniowa 1.
Zakres tematyczny
Wykład
I. Elementarny rachunek różniczkowy II
Ekstrema lokalne (1 godz.)
Charakteryzacja wypukłości funkcji (1 godz.)
Zbieżność jednostajna a różniczkowanie. Różniczkowanie szeregów potęgowych. Szereg Taylora (2 godz.)
Różniczkowalność funkcji elementarnych (1 godz.)
Funkcja pierwotna (2 godz.)
Algorytm całkowania funkcji wymiernych (materiał winien być opanowany przez studenta samodzielnie, na podstawie materiałów wskazanych przez wykładowcę)
Pochodna funkcji zmiennej zespolonej (informacyjnie) (1 godz.)
II. Zastosowania rachunku różniczkowego (materiał do opracowania przez studentów w zespołach, w formie pisemnej, na podstawie materiałów wskazanych przez wykładowcę)
Ruch prostoliniowy.
Zastosowania w geometrii.
Różniczka i obliczenia przybliżone.
Metoda Newtona.
Zastosowania w ekonomii.
III. Elementarny rachunek całkowy
Całka Riemanna i pole. Podstawowe własności całki. Twierdzenie o wartości średniej (8 godz.)
Całkowanie a różniczkowanie. Twierdzenie Newtona-Leibniza i jego konsekwencje (3 godz.)
Zbieżność jednostajna a całkowanie. Całkowanie szeregów potęgowych (2 godz.)
Całka niewłaściwa (4 godz.)
IV. Techniki całkowania
Podstawienia trygonometryczne (2 godz.)
Podstawienia Eulera (2 godz.)
Całkowanie numeryczne: wzór trapezów i metoda Simpsona (materiał winien być opanowany przez studenta samodzielnie, na podstawie materiałów wskazanych przez wykładowcę).
V. Zastosowania rachunku całkowego
Przykłady zastosowań całek w geometrii: pole obszaru, objętość bryły obrotowej, pole powierzchni obrotowej (2 godz.)
Środek masy i momenty. Twierdzenie Pappusa (materiał winien być opanowany przez studenta samodzielnie, na podstawie materiałów wskazanych przez wykładowcę).
Praca i ciśnienie (materiał winien być opanowany przez studenta samodzielnie, na podstawie materiałów wskazanych przez wykładowcę).
VI. Współrzędne biegunowe i równania parametryczne
Układ biegunowy. Krzywe we współrzędnych biegunowych. Pole obszaru ograniczonego krzywą. Długość krzywej (3 godz.)
Równania parametryczne krzywej na płaszczyźnie. Styczna do krzywej. Długość krzywej (2 godz.)
VII. Przestrzenie kartezjańskie
Skalary i wektory (1 godz.)
Współrzędne cylindryczne i sferyczne (1 godz.)
VIII. Funkcje wielu zmiennych
Poziomice funkcji dwóch i trzech zmiennych (1 godz.)
Granica i ciągłość (5 godz.)
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych I
Pochodne kierunkowe i cząstkowe. Macierz Jacobiego i gradient (2 godz.)
Różniczka i różniczkowalność (7 godz.)
Interpretacja geometryczna różniczkowalności. Płaszczyzna styczna i prosta normalna (2 godz.)
Odwzorowania regularne i dyfeomorfizmy (2 godz.)
Twierdzenie o funkcji uwikłanej (3 godz.)
Ćwiczenia
I. Elementarny rachunek różniczkowy II
Wyznaczanie ekstremów lokalnych i globalnych. Dowodzenie nierówności przy pomocy badania ekstremów. Badanie przebiegu zmienności funkcji (6 godz.)
Badanie zbieżności jednostajnej ciągów i szeregów funkcyjnych (2 godz.)
Rozwijanie funkcji w szereg Taylora (4 godz.)
III. Elementarny rachunek całkowy, IV. Techniki całkowania i V. Zastosowania rachunku całkowego
Obliczanie całek z definicji (2 godz.)
Całkowanie przez części i przez podstawienie. Algorytm całkowania funkcji wymiernych. Użycie twierdzenia Newtona-Leibniza (10 godz.)
Kolokwium (2 godz.)
Przechodzenie do granicy pod znakiem całki i całkowanie szeregów funkcyjnych (2 godz.)
Obliczanie pól obszarów i objętości brył (3 godz.)
Wyznaczanie środka ciężkości i obliczanie pracy (1 godz.)
VI. Współrzędne biegunowe i równania parametryczne
Przechodzenie od współrzędnych kartezjańskich do biegunowych i na odwrót (2 godz.)
Obliczanie pól obszarów i długości krzywych, opisanych równaniami biegunowymi (2 godz.)
Znajdywanie stycznej do krzywej zadanej parametrycznie. Obliczanie pól obszarów i długości krzywych, opisanych równaniami parametrycznymi (3 godz.)
VII. Przestrzenie kartezjańskie
Opisywanie powierzchni we współrzędnych sferycznych i cylindrycznych (1 godz.)
Kolokwium (2 godz.)
VIII. Funkcje wielu zmiennych
Granica i ciągłość funkcji. Granice iterowane. Ciągłość ze względu na poszczególne zmienne (3 godz.)
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych I
Znajdowanie pochodnych kierunkowych, pochodnej i różniczki (5 godz.)
Wyznaczanie stycznych i normalnych (2 godz.)
Badanie regularności i dyfeomorficzności odwzorowań (3 godz.)
Badanie zagadnienia funkcji uwikłanej (3 godz.)
Kolokwium (2 godz.)
Metody kształcenia
Tradycyjny wykład; ćwiczenia, w ramach których studenci rozwiązują zadania i dyskutują, a także przygotowują notki biograficzne matematyków, których nazwiska pojawiają się na wykładzie; praca w grupach zakończona opracowaniem pisemnym; praca z książką i przy pomocy Internetu.
Efekty uczenia się i metody weryfikacji osiągania efektów uczenia się
Opis efektu
Symbole efektów
Metody weryfikacji
Forma zajęć
Warunki zaliczenia
Trzy kolokwia z zadaniami o zróżnicowanym stopniu trudności, pozwalającymi na sprawdzenie, czy student osiągnął efekty kształcenia w stopniu minimalnym.
Egzamin w postaci testu z progami punktowymi.
Ocena z przedmiotu jest średnią arytmetyczną oceny z ćwiczeń i oceny z egzaminu. Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu.
Literatura podstawowa
Witold Jarczyk, Notatki do wykładu z analizy matematycznej, http://www.wmie.uz.zgora.pl/~`wjarczyk/materialy.html
Witold Jarczyk, Zadania z analizy matematycznej, http://www.wmie.uz.zgora.pl/~`wjarczyk/materialy.html
Literatura uzupełniająca
Józef Banaś, Stanisław Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1993.
Andrzej Birkholc, Analiza Matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2002.
Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1986.
Walter Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2002.
Uwagi
Zmodyfikowane przez dr Alina Szelecka (ostatnia modyfikacja: 24-09-2016 13:40)
Ta strona używa ciasteczek (cookies), dzięki którym nasz serwis może działać lepiej. Korzystając z niniejszej strony, wyrażasz zgodę na ich używanie. Dowiedz się więcej.