Zapoznanie studentów z podstawowymi własnościami przestrzeni Banacha i Hilberta oraz podstawami teorii operatorów liniowych na przestrzeniach Banacha.
Wymagania wstępne
Zakłada się znajomość postaw teorii mnogości, topologii metrycznej, algebry liniowej, analizy matematyczne oraz elementów teorii miary i całki.
Zakres tematyczny
Wykład
Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha
Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha. Podstawowe definicje i własności. Przykłady ciągowych i funkcyjnych przestrzeni Banacha. (3 godz.)
Szeregi w przestrzeniach unormowanych. Definicje i przykłady. (1 godz.)
Produkt kartezjański przestrzeni unormowanych. Uzupełnienie przestrzeni unormowanej. (2 godz.)
Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe. Zupełność przestrzeni skończenie-wymiarowych. Zwartość zbiorów w przestrzeniach skończenie wymiarowych. Twierdzenie Riesza. (3 godz.)
Operatory liniowe ograniczone na przestrzeniach unormowanych
Podstawowe własności liniowych operatorów ograniczonych. Przykłady ograniczonych operatorów liniowych na ciągowych i funkcyjnych przestrzeniach Banacha. (2 godz.)
Norma ograniczonego operatora liniowego. Przestrzeń ograniczonych operatorów liniowych. Przestrzeń sprzężona do przestrzeni unormowanej. (2 godz.)
Zwarte operatory liniowe na przestrzeniach Banacha. (2 godz.)
Zasada jednostajnej ograniczoności i jej zastosowania. (2 godz.)
Twierdzenie o operatorze odwrotnym i twierdzenie o domkniętym wykresie . (2 godz.)
Twierdzenie Hahna-Banacha i jego zastosowania. (2 godz.)
Ogólna postać ciągłych funkcjonałów liniowych nad klasycznymi ciągowymi przestrzeniami Banacha.(2 godz.)
Przestrzenie Hilberta
Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta – podstawowe definicje i własności . Przykłady.
(2 godz.)
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym w przestrzeniach Hilberta i jego zastosowania. 2 godz.)
Ogólna postać ciągłych funkcjonałów liniowych na przestrzeniach Hilberta. (1 godz.)
Układy ortogonalne w przestrzeniach Hilberta. Szeregi Fouriera w przestrzeniach Hilberta. (4 godz.)
Ćwiczenia
Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha
Przykłady ciągowych i funkcyjnych przestrzeni liniowych. Podstawowe własności. Nierówności Holdera i Minkowskiego. (3 godz.)
Sprawdzanie warunków normy na przestrzeniach ciągowych i funkcyjnych. Wykazywanie zupełności klasycznych ciągowych i funkcyjnych przestrzeni unormowanych. (3 godz.)
Wyznaczanie normy elementów w przestrzeniach ciągowych i funkcyjnych. (3 godz.)
Porównywanie norm w przestrzeniach unormowanych. (1 godz.)
Kolokwium. (2 godz.)
Operatory liniowe ograniczone na przestrzeniach unormowanych
Sprawdzanie liniowości i ograniczoności funkcjonałów i operatorów określonych na ciągowych i funkcyjnych przestrzeniach unormowanych. (3 godz.)
Wyznaczanie normy funkcjonałów unormowanych na ciągowych i funkcyjnych przestrzeniach. (3 godz.)
Przestrzenie Hilberta
Przykłady przestrzeni Hilberta. Podstawowe własności. (2 godz.)
Sprawdzanie warunków iloczynu skalarnego w przestrzeniach ciągowych i funkcyjnych. (2 godz.)
Badanie własności geometrycznych i topologicznych przestrzeni Hilberta. (4 godz.)
Badanie układów ortogonalnych w przestrzeniach Hilberta (2 godz.)
Kolokwium.(2 godz.).
Metody kształcenia
Wykład konwencjonalny . Ćwiczenia audytoryjne , rozwiązywanie zadań i problemów
Efekty uczenia się i metody weryfikacji osiągania efektów uczenia się
Opis efektu
Symbole efektów
Metody weryfikacji
Forma zajęć
Warunki zaliczenia
Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (40%) oraz ocena z egzaminu (60%). Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu.
Literatura podstawowa
J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.
T. Pytlik, Analiza funkcjonalna, Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego 2000.
S. Prus , A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach , PWN, Warszawa 2007.
Literatura uzupełniająca
J . Chmieliński, Analiza funkcjonalna – notatki do wykładu, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 1999.
J. Górniak ,T. Pytlik, Analiza funkcjonalna w zadaniach, Politechnika Wrocławska, 1992.
Uwagi
Zmodyfikowane przez dr Robert Dylewski, prof. UZ (ostatnia modyfikacja: 09-04-2017 16:04)
Ta strona używa ciasteczek (cookies), dzięki którym nasz serwis może działać lepiej. Korzystając z niniejszej strony, wyrażasz zgodę na ich używanie. Dowiedz się więcej.