1. SylabUZ
2. Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska
3. semestr zimowy 2021/2022
4. Inżynieria środowiska - pierwszego stopnia z tyt. inżyniera
5. Matematyka I i II

Wygeneruj PDF dla tej strony

Matematyka I i II - opis przedmiotu

Cel przedmiotu

Zapoznanie z podstawowymi pojęciami i metodami algebry liniowej, geometrii analitycznej, analizy matematycznej I (rachunku różniczkowego i całkowego) oraz wyposażenie studentów w podstawowe narzędzia matematyczne niezbędne do formułowania i rozwiązywania typowych, prostych zadań inżynierskich z zakresu studiowanego kierunku studiów.

 

Wymagania wstępne

Zapisz zmiany

Znajomość matematyki na poziomie szkoły ponadpodstawowej z zakresu rachunku zbiorów, elementów geometrii analitycznej na płaszczyźnie, własności funkcji jednej  zmiennej, funkcji elementarnych, rozwiązywania równań i nierówności z jedną niewiadomą.

Zakres tematyczny

WYKŁADY

1. Liczby zespolone. Działania na liczbach zespolonych. Postać algebraiczna, sprzężenie, moduł liczby zespolonej. Postać trygonometryczna (i wykładnicza liczby zespolonej), wzór Moivre’a. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych.
2. Wielomiany i ich podzielność. Pierwiastki wielomianu. Twierdzenie Bezouta. Podstawowe twierdzenie algebry. Rozkład wielomianów na czynniki nierozkładalne. Schemat Hornera i jego zastosowania.
3. Algebra liniowa: Wiadomości wstępne o wektorach. Kombinacje liniowe wektorów. Macierze i działania na macierzach. Macierz odwrotna. Układy równań liniowych i ich rozwiązywanie metodą Gaussa-Jordana. Równania macierzowe i ich rozwiązywanie. Wyznaczanie macierzy odwrotnej metodą Gaussa-Jordana.
4. Wyznacznik macierzy i jego własności. Wyznacznik iloczynu macierzy. Macierze odwracalne i nieosobliwe.  Układy Cramera. Układy równań liniowych i ich rozwiązywanie metodą Gaussa-Jordana. Równania macierzowe i ich rozwiązywanie.
5. Wektory i wartości własne macierzy symetrycznej. Wielomian charakterystyczny. Diagonalizacja macierzy i przekształcenia liniowego. Diagonalizacja macierzy symetrycznej.
6. Przestrzeń wektorowa. Iloczyn skalarny.^. Iloczyn wektorowy, iloczyn mieszany i ich interpretacje.
7. Równania płaszczyzny: ogólne, normalne, parametryczne, odcinkowe. Równania prostej: kierunkowe, krawędziowe, parametryczne. Wzajemne położenia punktów, prostych i płaszczyzn.
8. Ciągi liczbowe i ich własności. Granicy ciągu. Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach ciągu. Twierdzenie o trzech ciągach. Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego i ograniczonego. Granice ważnych ciągów liczbowych.
9. Szeregi liczbowe. Zbieżność szeregu. Podstawowe twierdzenia o zbieżności szeregów. Kryteria d'Alemberta, Cauchy'ego i Leibniza.
10. Granica funkcji. Podstawowe twierdzenia o granicach funkcji. Ważniejsze granice. Ciągłość funkcji. Ciągłości jednostronne i typy nieciągłości  funkcji.
11. Pochodna funkcji. Obliczanie pochodnej. Różne interpretacje geometryczne i fizyczne pochodnej. Linearyzacja funkcji i różniczka funkcji. Ekstremum funkcji. Wartość największa i wartość najmniejsza funkcji. Twierdzenia o wartościach pośrednich.
12. Wzór Taylora i Maclaurina. Wklęsłość i wypukłość funkcji. Badanie monotoniczności i ekstremum funkcji. Twierdzenie de l'Hospitala. Asymptoty. Badanie przebieg zmienności funkcji i szkicowanie wykresu funkcji.
13. Całka nieoznaczona. Podstawowe metody całkowania najważniejszych typów funkcji.
14. Całka oznaczona i jej własności. Podstawowe twierdzenia rachunku całkowego. Funkcja górnej granicy całkowania.
15. Zastosowania całki w obliczaniu pola, długości łuku krzywej, objętości i pola powierzchni bryły obrotowej, w obliczaniu momentów bezwładności, pracy i środka masy. Całki niewłaściwe pierwszego i drugiego rodzaju.

ĆWICZENIA
Tematyka ćwiczeń będzie skorelowana z tematyką kolejnych wykładów. Na ćwiczeniach studenci będą mieli możliwość przyswoić definicje i metody przedstawione na wykładach, nabyć umiejętności rachunkowe, rozwiązywania problemów, argumentowania swoich racji przy omawianiu zagadnień matematycznych występujących w zagadnieniach fizycznych, chemicznych, ekonomicznych i innych zagadnieniach pojawiających  się w praktyce inżyniera.
Dodatkowo studenci będą otrzymywali zestawy zadań do samodzielnego rozwiązania w domu (prace kontrolne), które będą oceniane i omawiane na ćwiczeniach lub na portalu internetowym (Classroomie – konsultacje, test z wykładów). Od pierwszych zajęć u studentów będzie rozwijana potrzeba i umiejętność posługiwania się bezpłatnymi narzędziami takimi jak WolframAlpha  www.wolframalpha.com oraz  aplikacjami matematycznymi GeoGebra  www.geogebra.org 

Na ćwiczeniach  studenci dyskutują i rozważają różne sposoby rozwiązania postawionych problemów.
Rozwiązują zadania i problemy wykorzystując wiedzę uzyskaną na wykładzie.
Tematyka piętnastu godzin ćwiczeń będzie dotyczyła:

1. Działania w zbiorze liczb zespolonych. Postać trygonometryczna i wykładnicza. 
2. Wielomiany. Pierwiastki wielomianów. 
3. Działania na macierzach. Wyznacznik. Metody wyznaczania macierzy odwrotnej.
4. Metody rozwiązywania układów równań liniowych. Wzory Cramera. Metoda Gaussa. 
5. Iloczyny: skalarny, wektorowy, mieszany i ich zastosowania. Prosta i płaszczyzna w R3.
6. Kolokwium.
7. Ciągi liczbowe. Ciągi zbieżne.
8.  Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności szeregów.
9. Granice i ciągłość funkcji.  Punkty przegięcia.
10. Pochodna funkcji. Reguła de l’Hospitala.
11. Badanie funkcji. Monotoniczność i ekstrema funkcji.
12. Całka nieoznaczona. Podstawowe metody całkowania.
13. Całka oznaczona i jej zastosowanie.
14. Całki niewłaściwe I i II rodzaju.
15. Kolokwium.

Metody kształcenia

Wykład: problemowy, konwersatoryjny, wykład z prezentacją multimedialną
Ćwiczenia audytoryjne: praca w grupach,  dyskusja.

Wykład: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień. Studenci otrzymują wyprzedzająco materiały ułatwiające śledzenie treści wykładów. 
Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.

Efekty uczenia się i metody weryfikacji osiągania efektów uczenia się

Opis efektu	Symbole efektów	Metody weryfikacji	Forma zajęć

Warunki zaliczenia

Zaliczenie wykładu na ocenę
Warunkiem dopuszczenia do zaliczenia wykładu na ocenę jest pozytywna ocena zaliczenia ćwiczeń audytoryjnych.
Warunkiem zaliczenia testu pisemnego jest uzyskanie ustalonej dla danego testu minimalnej liczby punktów (50%).
Ćwiczenia audytoryjne
Na ćwiczeniach audytoryjnych studenci rozwiązują, zadania i problemy wykorzystując definicje, twierdzenia oraz pozostałą wiedzę uzyskaną na wykładzie. Studenci również dyskutują i rozważają różne sposoby rozwiązania postawionych problemów. Obecność na ćwiczeniach jest obowiązkowa. Podstawowym terminem uzyskania zaliczenia jest koniec zajęć w danym semestrze.

Ocena podstawowego terminu zaliczenia jest wystawiana na podstawie osiągnięć studenta w trakcie ćwiczeń audytoryjnych. 
Student ma prawo do dwukrotnego przystąpienia do zaliczenia.
Warunkiem zaliczenia ćwiczeń jest uzyskanie pozytywnych ocen z dwóch kolokwiów z zadaniami o zróżnicowanym stopniu trudności, pozwalającymi na sprawdzenie, czy student osiągnął efekty kształcenia w stopniu minimalnym oraz aktywności na ćwiczeniach.

Warunkiem zaliczenia kolokwium jest uzyskanie ustalonej (dla danego kolokwium) minimalnej liczby punktów (50%).
Warunkiem zaliczenia wykładu jest uzyskanie oceny pozytywnej z testu pisemnego (ilustracja wykładu przykładami)
Ocena końcowa przedmiotu jest średnią arytmetyczną oceny z ćwiczeń i oceny  zaliczenia wykładu (testu pisemnego).

Literatura podstawowa

1. Gewert M.: Skoczylas Z.: Analiza matematyczna 1 i 2, Ofic. Wyd., GiS,
2. Jurlewicz  J.: Z. Skoczylas Z. Algebra liniowa 1 i 2, Ofic. Wyd.,  GiS, 
3. Kajetanowicz P.,  Wierzejewski J.: Algebra z geometrią analityczną, PWN,
4. Leitner R.: Zarys matematyki wyższej dla studentów. WNT,
5. McQuarrie D.: Matematyka dla przyrodników i inżynierów. PWN,
6. Krysicki W., Włodarski L.: Analiza matematyczna w zadaniach. PWN.

Literatura uzupełniająca

1. Białynicki-Birula A.: Algebra liniowa z geometrią, PWN, Biblioteka Matematyczna t.48, 
2. Fichtenholz G.M.: Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I, II i III. PWN,
3. Gancarzewicz J.: Algebra liniowa z elementami geometrii, Wydawnictwo Naukowe UJ,
4. Klukowski J., Nabiałek I.: Algebra dla studentów, WNT,
5. Rudnicki W.: Wykłady z analizy matematycznej: PWN.

Uwagi

Zmodyfikowane przez dr hab. inż. Sylwia Myszograj, prof. UZ (ostatnia modyfikacja: 18-04-2021 17:37)