Zapoznanie studentów z podstawowymi pojęciami topologii przestrzeni metrycznych: przestrzeń metryczna, zbieżność ciągu, granica i ciągłość funkcji, ośrodkowość, zwartość, zupełność i spójność przestrzeni metrycznej.
Prerequisites
Znajomość postaw teorii mnogości i analizy matematycznej.
Scope
Wykład
Przestrzenie metryczne
Podstawowe własności i przykłady przestrzeni metrycznych. Przestrzenie funkcyjne. (2 godz.)
Topologia wyznaczona przez metrykę. Baza przestrzeni metrycznej. Układ otoczeń. Wnętrze i domknięcie zbioru. Zbiory otwarte i domknięte. (2 godz.)
Zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych. Porównywanie metryk. (1 godz.)
Podprzestrzenie przestrzeni metrycznych. Iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych. (2 godz.)
Różne rodzaje zbiorów w przestrzeniach metrycznych. (1 godz.)
Przestrzenie metryczne ośrodkowe – podstawowe własności i przykłady (1 godz.).
Przekształcania ciągłe przestrzeni metrycznych
Przekształcania ciągłe i ich charakteryzacje. Przekształcenia jednostajnie ciągłe. (3 godz.)
Homeomorfizmy i izometrie przestrzeni metrycznych. Niezmienniki topologiczne. (1 godz.)
Zbieżność ciągów funkcyjnych. (1 godz.)
Przestrzenie metryczne zupełne
Przestrzenie zupełne. Podstawowe własności i przykłady. (2 godz.)
Uzupełnienie przestrzeni metrycznych.(1 godz.)
Twierdzenie Baire’a o kategoriach. Metoda kategorii Baire’a. (1 godz.)
Twierdzenie Banacha o punkcie stałym.(1 godz.)
Przestrzenie metryczne zwarte
Przestrzenie zwarte. Podstawowe własności i przykłady. (2 godz.)
Charakteryzacje zwartych przestrzeni metrycznych. Twierdzenie Borela-Lebesgue’a (2 godz.)
Produkt kartezjański przestrzeni zwartych. (1 godz.)
Charakteryzacja zbiorów zwartych w przestrzeni Euklidesowej (1 godz.)
Własności przekształceń ciągłych na zwartych przestrzeniach metrycznych. Twierdzenie Weierstrassa. (3 godz.)
Przestrzenie metryczne spójne i łukowo spójne
Przestrzenie spójne. Podstawowe własności i przykłady. (1 godz.)
Własności przekształceń ciągłych na spójnych przestrzeniach metrycznych. (1 godz.)
Ćwiczenia
Przestrzenie metryczne
Podstawowe własności metryk. Przestrzenie Euklidesowe i przestrzenie funkcyjne. (2 godz.)
Sprawdzanie warunków metryki w konkretnych przestrzeniach funkcyjnych. (3 godz.)
Porównywanie różnych metryk na płaszczyznie. (2 godz.)
Badanie produktów kartezjańskich przestrzeni metrycznych. (2 godz.)
Operacje na zbiorach w przestrzeni metrycznej, np. wyznaczanie wnętrza i domknięcia zbiorów dla różnych metryk. (4 godz.)
Badanie zbieżności i punktów skupienia ciągów w przestrzeniach metrycznych. (2 godz.)
Wyznaczanie różnych własności zbiorów w przestrzeniach metrycznych. (2 godz.)
Kolokwium. (2 godz.)
Przekształcenia ciągłe
Badanie ciągłości i jednostajnej ciągłości funkcji na przestrzeniach funkcyjnych. (4 godz.)
Badanie zbieżności ciągów w przestrzeniach funkcyjnych. (2 godz.)
Własności topologiczne podstawowych klas przestrzeni metrycznych
Badanie zupełności funkcyjnych przestrzeni metrycznych. (2 godz.)
Charakteryzacja zbiorów zwartych i spójnych w przestrzeniach metrycznych 3 godz.)
Kolokwium. (2 godz.)
Teaching methods
Wykład konwencjonalny. Ćwiczenia audytoryjne , rozwiązywanie problemów i zadań.
Learning outcomes and methods of theirs verification
Outcome description
Outcome symbols
Methods of verification
The class form
Assignment conditions
Kolokwia o zróżnicowanym stopniu trudności, pozwalające sprawdzić stopień opanowania poszczególnych efektów kształcenia.
Egzamin polega na sprawdzeniu rozumienia podstawowych pojęć , wskazania przykładów oraz sprawdzenia znajomości dowodów wskazanych twierdzeń.
Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (40%) oraz ocena z egzaminu (60%).
Warunkiem do przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu.
Recommended reading
S. Gładysz, Wstęp do topologii, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1981.
W. Rzymowski, Przestrzenie metryczne w analizie, Wyd. UMSC, Lublin 2000.
J. Jędzejewski , W. Wilczyński, Przestrzenie metryczne w zadaniach , Wyd. UŁ. Łódź 2007.
Further reading
J. Jędrzejewski, Zarys teorii przestrzeni metrycznych, Wydawnictwo WSP Słupsk, 1999.
A. W. Archangielski , W. I. Ponomariow, Podstawy topologii ogólnej w zadaniach, PWN, Warszawa 1986.
Notes
Modified by dr Robert Dylewski, prof. UZ (last modification: 18-09-2019 10:28)