1. SylabUZ
2. Faculty of Mathematics, Computer Science and Econometrics
3. winter term 2020/2021
4. Mathematics - First-cycle studies leading to Bachelor's degree
5. Mathematical Analysis 1

Generate PDF for this page

Mathematical Analysis 1 - course description

Aim of the course

Zapoznanie studenta z podstawowymi pojęciami analizy matematycznej: zbieżność ciągu i szeregu, granica, ciągłość i pochodna funkcji, a także ze związkami między tymi pojęciami.

Prerequisites

Save changes

Znajomość matematyki w zakresie szkoły ponadgimnazjalnej.

Scope

Wykład

I. Liczby rzeczywiste i zespolone

1. Aksjomatyka liczb rzeczywistych. Kresy (4 godz.)
2. Pierwiastek liczby nieujemnej (2 godz.)
3. Liczby zespolone (4 godz.)
4. Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych (1 godz.)

II. Funkcje elementarne I

1. Wielomiany i funkcje wymierne. Funkcje potęgowe zmiennej rzeczywistej o wykładniku wymiernym (1 godz.)
2. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej. Postać trygonometryczna liczby zespolonej (3 godz.)

III. Ciągi i szeregi liczbowe

1. Ciągi liczbowe i ich zbieżność. Ciągi ograniczone. Warunek Cauchy’ego (2 godz.)
2. Obliczanie granic ciągów (3 godz.)
3. Granica górna i granica dolna ciągu (1 godz.)
4. Szeregi liczbowe – podstawy (3 godz.)
5. Szeregi o wyrazach nieujemnych. Kryteria porównawcze. Kryteria Cauchy’ego i d’Alemberta (4 godz.)
6. Zbieżność bezwzględna, bezwarunkowa i warunkowa. Twierdzenie Riemanna (2 godz.)
7. Mnożenie szeregów. Twierdzenie Mertensa (2 godz.)

IV. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej

1. Granica funkcji (2 godz.)
2. Ciągłość. Twierdzenie Darboux (2 godz.)
3. Ekstrema absolutne. Twierdzenie Weierstrassa (1 godz.)
4. Granica a ciągłość (1 godz.)
5. Granice funkcji zmiennej rzeczywistej. Granice jednostronne (1 godz.)
6. Granice funkcji rzeczywistych. Twierdzenie o trzech funkcjach (1 godz.)
7. Asymptoty (1 godz.)

V. Ciągi i szeregi funkcyjne

1. Zbieżność punktowa i jednostajna (3 godz.)
2. Szeregi funkcyjne. Kryteria Weierstrassa i Dirichleta (1 godz.)
3. Szeregi potęgowe. Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda (1 godz.)

VI. Funkcje elementarne II

1. Funkcje wykładnicze. Funkcje logarytmiczne zmiennej rzeczywistej (2 godz.)
2. Funkcje potęgowe zmiennej rzeczywistej (1 godz.)
3. Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne (2 godz.)

VII. Funkcje monotoniczne i wypukłe

1. Funkcje monotoniczne (2 godz.)
2. Funkcje wypukłe (informacyjnie; część materiału, wskazana przez wykładowcę, winna być opanowana przez studenta samodzielnie, na podstawie materiałów wskazanych przez prowadzącego) (1 godz.)

VIII. Elementarny rachunek różniczkowy I

1. Pochodna i jej interpretacja. Różniczkowalność funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Podstawowe wzory związane z pochodnymi. Pochodne funkcji elementarnych (3 godz.)
2. Twierdzenia o wartości średniej Rolle’a, Cauchy’ego i Lagrange’a. Charakteryzacja monotoniczności (2 godz.)
3. Reguła de L’Hospitala (1 godz.)
4. Pochodne wyższych rzędów i wzór Taylora (2 godz.)

 

Ćwiczenia

I. Liczby rzeczywiste i zespolone

1. Stosowanie aksjomatów zbioru liczb rzeczywistych w prostych dowodach (2 godz.)
2. Poznawanie podstawowych własności zbiorów liczb wymiernych i niewymiernych. Wyznaczanie kresów zbiorów liczb rzeczywistych (3 godz.)
3. Zaznaczanie zbiorów liczb zespolonych na płaszczyźnie.  Operacje na liczbach zespolonych. Rozwiązywanie równań algebraicznych w dziedzinie zespolonej (2 godz.)

II. Funkcje elementarne I

1. Przykłady pojawiania się funkcji elementarnych w prostych zagadnieniach poza matematyką (1 godz.)
2. Znajdowanie postaci trygonometrycznej liczby zespolonej.  Wyznaczanie pierwiastków liczb zespolonych (2 godz.)

III. Ciągi i szeregi liczbowe

1. Badanie zbieżności ciągów liczbowych przy użyciu definicji (2 godz.)
2. Badanie zbieżności poprzez warunek Cauchy’ego (1 godz.)
3. Badanie zbieżności ciągów monotonicznych i ograniczonych (2 godz.)
4. Ciągi rekurencyjne.  Zastosowanie twierdzenia o trzech ciągach (1 godz.)
5. Wyznaczanie granic górnych i dolnych (1 godz.)
6. Badanie zbieżności szeregów liczbowych.  Stosowanie kryteriów zbieżności (5 godz.)
7. Obliczanie sumy szeregu (1 godz.)
8. Obliczanie iloczynu Cauchy’ego szeregów (1 godz.)

Kolokwium (2 godz.)

IV. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej

1. Badanie istnienia i wyznaczanie wartości granicy funkcji (4 godz.)
2. Badanie ciągłości funkcji (2 godz.)

V. Ciągi i szeregi funkcyjne

1. Badanie zbieżności jednostajnej ciągów funkcyjnych (2 godz.)
2. Badanie zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych (2 godz.)
3. Ćwiczenie zastosowania kryterium Weierstrassa do badania zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych (1 godz.)
4. Wyznaczanie środka i promienia zbieżności szeregu potęgowego (3 godz.)

VI. Funkcje elementarne II

1. Własności funkcji wykładniczych i trygonometrycznych zmiennej zespolonej – ćwiczenie prostego dowodzenia rachunkowego (2 godz.)

Kolokwium (2 godz.)

VII. Funkcje monotoniczne i wypukłe

1. Badanie wypukłości funkcji przy użyciu definicji (1 godz.)
2. Dowodzenie pewnych nierówności poprzez sprawdzenie wypukłości stosownej funkcji (1 godz.)

VIII. Elementarny rachunek różniczkowy I

1. Obliczanie pochodnych z definicji.  Badanie różniczkowalności.  Wyznaczanie stycznej i normalnej do krzywej (5 godz.)
2. Stosowanie twierdzeń o wartości średniej, badanie monotoniczności funkcji różniczkowalnych, dowodzenie nierówności (3 godz.)
3. Obliczanie granic funkcji przy pomocy reguły de L’Hospitala (2 godz.)
4. Stosowanie wzoru Taylora do przybliżania wartości funkcji (2 godz.)

Kolokwium (2 godz.)

 

Teaching methods

Tradycyjny wykład; ćwiczenia, w ramach których studenci rozwiązują zadania i dyskutują, a także przygotowują notki biograficzne matematyków, których nazwiska pojawiają się na wykładzie; praca w grupach; praca z książką i przy pomocy internetu.

Learning outcomes and methods of theirs verification

Outcome description	Outcome symbols	Methods of verification	The class form

Assignment conditions

1. Trzy kolokwia z zadaniami o zróżnicowanym stopniu trudności, pozwalającymi na sprawdzenie, czy student osiągnął efekty kształcenia w stopniu minimalnym.
2. Egzamin w postaci testu z progami punktowymi.

Ocena z przedmiotu jest średnią arytmetyczną oceny z ćwiczeń i oceny z egzaminu. Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu.

Recommended reading

1. Witold Jarczyk,  Notatki do wykładu z analizy matematycznej, http://www.wmie.uz.zgora.pl/~`wjarczyk/materialy.html
2. Witold Jarczyk, Zadania z analizy matematycznej, http://www.wmie.uz.zgora.pl/~`wjarczyk/materialy.html

Further reading

1. Józef Banaś, Stanisław Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1993.
2. Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1986.
3. Walter Rudin, Podstawy analizy matematycznej,  Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2002.

Notes

Modified by dr Alina Szelecka (last modification: 05-06-2020 12:18)