Celem jest uzyskanie przez studenta umiejętności i kompetencji w zakresie kursu algebry abstrakcyjnej (elementy teorii grup, pierścieni, ciał i krat).
Prerequisites
Przystępujący do kursu Algebry ogólnej student powinien mieć opanowany materiał obejmujący Algebrę liniową 1 i 2.
Scope
Wykład
Własności działań, struktury algebraiczne. Grupy, grupy abelowe, cykliczne, podgrupy, grupa permutacji, grupy torsyjne. Twierdzenie Cayleya i twierdzenie Lagrange’a. Momorfizmy grup, podgrupy normalne, kongruencje w grupach. Grupa ilorazowa, twierdzenie o izomorfizmie dla grup. (8 godz.)
Pierścienie, podpierścienie, ideały, kongruencje w pierścieniach, pierścień ilorazowy. Twierdzenie o izomorfizmie dla pierścieni, ideały główne, ideały pierwsze i maksymalne. Ciało, ciała skończone, ciała proste, ciało ułamków. (4 godz.)
Pierścienie z jednoznacznością rozkładu, własności elementów w pierścieniu głównym i w pierścieniu euklidesowym, elementy odwracalne, elementy pierwsze i elementy rozkładalne. Pierścień liczb całkowitych, twierdzenia o liczbach pierwszych, zasadnicze twierdzenie arytmetyki, przystawanie liczb całkowitych, Chińskie twierdzenie o resztach, Twierdzenie Eulera. (8 godz.)
Pierścień wielomianów jednej i wielu zmiennych, pierwiastki wielomianów, Twierdzenie Bezout, rozkładalność wielomianu, twierdzenie Gaussa, kryterium Eisensteina-Shönemanna. Element algebraiczny względem ciała, wielomian minimalny. Rozszerzenia ciał. Ciało algebraicznie domknięte. Twierdzenie Hilberta o zerach. (6 godz.)
Sprawdzanie własności grup (cykliczność, abelowość, torsyjność), wyznaczanie podgrup danej grupy(twierdzenie Lagrange’a), wyznaczanie jądra homomorfizmu, znajdowanie dzielników normalnych danej grupy oraz jej obrazów homomorficznych poprzez konstrukcję odpowiednich grup ilorazowych (zastosowanie Twierdzenia o izomorfizmie dla grup), dowodzenie związków kongruencji w grupach z podgrupami normalnymi. (8 godz.)
Wyznaczanie podpierścieni (podciał ) pierścienia (ciała) oraz badanie własności ideałów danego pierścienia, wyznaczanie obrazów homomorficznych pierścienia poprzez konstrukcję pierścieni ilorazowych. (4 godz.)
Sprawdzanie, czy dany pierścień jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, pierścieniem głównym lub euklidesowym, wyznaczanie elementów odwracalnych, sprawdzanie czy dany element pierścienia jest elementem pierwszym lub rozkładalnym. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności elementów, przy zastosowaniu algorytmu Euklidesa, w pierścieniach euklidesowych. Wyznaczanie elementów odwrotnych w multyplikatywnej grupie C(n) elementów odwracalnych pierścienia Zn stosując rozszerzony algorytm Euklidesa, obliczanie rzędu grupy Φ(n) poprzez obliczanie wartości funkcji Eulera dla liczby n. Chińskie twierdzenie o resztach w zadaniach. (8 godz.)
Sprawdzanie czy element jest algebraiczny nad danym ciałem, sprawdzanie rozkładalności wielomianu w pierścieniach Z[x] i Q[x], znajdowanie rozszerzenia ciała oraz ciała rozkładu danego wielomianu. (6 godz.)
Wyznaczanie (diagram Hasse’a) kraty podgrup normalnych (ideałów) danej grupy (pierścienia), wyznaczanie infimum i supremum zbioru elementów oraz elementów wyróżnionych dla tej kraty. Sprawdzanie, czy krata jest rozdzielna i modularna stosując Twierdzenie Dedekinda-Birkhoffa o podkratach zabronionych. Sprawdzanie, czy krata jest algebrą Boole’a. (4 godz.)
Teaching methods
Wykłady: wykład konwencjonalny; wykład problemowy. Ćwiczenia: wspólne rozwiązywanie zadań związanych z tematyką przedmiotu, dowodzenie dodatkowych twierdzeń, ćwiczenia obrazujące zastosowanie teorii, rozwiązywanie zadań problemowych, dyskusja.
Learning outcomes and methods of theirs verification
Outcome description
Outcome symbols
Methods of verification
The class form
Assignment conditions
Na ocenę z ćwiczeń składają się wyniki osiągnięte na kolokwiach (80%) oraz aktywność na zajęciach (20%). Egzamin składa się z części pisemnej oraz ustnej ale warunkiem przystąpienia do części ustnej jest uzyskanie minimum 30% punktów z części pisemnej.
Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń 50%) oraz ocena z egzaminu (50%). Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu.
Recommended reading
A. Białynicki-Birula, Zarys algebry, BM tom 63, PWN, Warszawa, 1987.
M. Bryński, Algebra dla studentów matematyki, PWN, Warszawa 1987.
B. Gleichgewicht, Algebra, Oficyna GiS, 2002.
J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa, 2000.
Further reading
G. Birkhoff, T.C. Bartee, Współczesna algebra stosowana, PWN, Warszawa, 1983.
M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1985.
A.I. Kostrykin, Wstęp do algebry, cz. I, III, PWN, Warszawa, 2005.
R. Lidl, Algebra dla przyrodników i inżynierów, PWN, Warszawa 1983.
A. Mostowski, M. Stark, Algebra wyższa, cz. I, II, III, PWN, 1966.
Notes
Modified by dr Alina Szelecka (last modification: 05-05-2021 13:34)
