Zapoznanie studenta z podstawowymi pojęciami analizy matematycznej: zbieżność ciągu liczbowego; zbieżność szeregu liczbowego; granica, ciągłość i pochodna funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej, a także ze związkami między tymi pojęciami. Kolejnym celem jest zaznajomienie studenta z podstawowymi pojęciami rachunku całkowego funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej.
Prerequisites
Znajomość matematyki w zakresie szkoły średniej.
Scope
Wykład
Pojęcie ciągu liczbowego i jego podstawowe własności: monotoniczność i ograniczoność.
Granica ciągu liczbowego i jej własności: jednoznaczność granicy; zbieżność ciągu a jego ograniczoność; działania na granicach ciągów; twierdzenie o trzech ciągach; zbieżność ciągu monotonicznego i ograniczonego; liczba Eulera; granica w sensie niewłaściwym; podciąg i jego granica; granice ekstremalne ciągu liczbowego.
Granica funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej: granice jednostronne funkcji w punkcie; granice nieskończone i w nieskończoności; podstawowe własności granic funkcji.
Ciągłość funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej: ciągłość funkcji w punkcie i w zbiorze; klasyfikacja punktów nieciągłości; własności funkcji ciągłych; twierdzenie Weierstrassa; twierdzenie Darboux.
Pochodna funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej: definicja i interpretacje pochodnej funkcji w punkcie. Różniczkowalność funkcji w zbiorze. Ciągłość a różniczkowalność. Podstawowe reguły różniczkowania, pochodne funkcji elementarnych. Twierdzenia o wartości średniej i ich zastosowania. Reguła de L`Hospitala. Pochodne i różniczki wyższych rzędów funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej. Wzór Taylora. Ekstrema lokalne i globalne funkcji. Wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia wykresu funkcji.
Całka nieoznaczona funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej. Podstawowe metody wyznaczania całek nieoznaczonych. Całka oznaczona Riemanna i jej własności. Podstawowe twierdzenia rachunku całkowego. Szacowanie całek oznaczonych. Zastosowania geometryczne i fizyczne całki Riemanna (pole figury płaskiej, długość krzywej, objętość i pole powierzchni bryły obrotowej, praca, energia elektryczna, napięcie). Całki niewłaściwe.
Szeregi liczbowe: zbieżność szeregu, kryteria zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach dodatnich, własności szeregów o wyrazach dowolnych.
Ćwiczenia
Badanie monotoniczności i ograniczoności ciągu liczbowego.
Wyznaczanie granicy ciągu liczbowego.
Obliczanie granicy funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej.
Badanie ciągłości funkcji w punkcie i w zbiorze.
Badanie różniczkowalności funkcji w punkcie.
Wyznaczanie pochodnej funkcji w oparciu o podstawowe reguły różniczkowania.
Wyznaczanie ekstremów lokalnych i globalnych funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej.
Obliczanie granicy funkcji przy pomocy reguły de L’Hospitala.
Obliczanie całek nieoznaczonych.
Obliczanie całek oznaczonych i całek niewłaściwych.
Zastosowania rachunku różniczkowego i rachunku całkowego
Badanie zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich w oparciu o odpowiednie kryteria zbieżności.
Kolokwia. (3×1 godz. na studiach stacjonarnych, 2×1 godz. na studiach niestacjonarnych)
Teaching methods
Wykład konwencjonalny; ćwiczenia, w ramach których studenci rozwiązują zadania i dyskutują; praca w grupach; praca z książką i przy pomocy internetu.
Learning outcomes and methods of theirs verification
Outcome description
Outcome symbols
Methods of verification
The class form
Assignment conditions
Ćwiczenia: Trzy kolokwia (dwa na studiach niestacjonarnych) + dwie prace kontrolne (do samodzielnego przygotowania poza zajęciami) z zadaniami o zróżnicowanym stopniu trudności, pozwalającymi na sprawdzenie, czy student osiągnął efekty kształcenia w stopniu minimalnym. Na ocenę z ćwiczeń składają się wyniki osiągnięte na kolokwiach (80 %) oraz przygotowanie do zajęć i wykonywanie prac kontrolnych (20 %).
Warunkiem koniecznym i dostatecznym uzyskania zaliczenia z ćwiczeń jest zgromadzenie 50 % maksymalnej liczby punktów, jaką można zdobyć z kolokwiów cząstkowych, prac kontrolnych i aktywności na zajęciach.
Wykład: Egzamin w postaci testu z progami punktowymi (w razie potrzeby wykładowca może zmienić formę egzaminu). Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń.
Zaliczenie przedmiotu: Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu. Ocena z przedmiotu jest średnią arytmetyczną oceny z ćwiczeń i oceny z egzaminu.
Recommended reading
G. Decewicz, W. Żakowski, Matematyka, Analiza matematyczna część I, WNT Warszawa, 2005
M. Grabowski, Analiza matematyczna. Powtórzenie, ćwiczenia i zbiór zadań. WNT, Warszawa, 1997
M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Gis, Wrocław, 2007
M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych, WM, Bydgoszcz, 2010
W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, PWN, Warszawa, 1971
Further reading
R.Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 2004
W. Krysicki. L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I, PWN, Warszawa, 2008
Notes
Modified by dr Dorota Głazowska (last modification: 10-04-2022 22:42)
