Zapoznanie z podstawowymi pojęciami i metodami algebry liniowej, geometrii analitycznej, analizy matematycznej I (rachunku różniczkowego i całkowego) oraz wyposażenie studentów w podstawowe narzędzia matematyczne niezbędne do formułowania i rozwiązywania typowych, prostych zadań inżynierskich z zakresu studiowanego kierunku studiów.
Prerequisites
Znajomość matematyki na poziomie szkoły ponadpodstawowej z zakresu rachunku zbiorów, elementów geometrii analitycznej na płaszczyźnie, własności funkcji jednej zmiennej, funkcji elementarnych, rozwiązywania równań i nierówności z jedną niewiadomą.
Scope
WYKŁADY
Elementy logiki matematycznej i teorii mnogości. Symbole logiczne, zdania, tautologie, kwantyfikatory. Zbiory, operacje na rodzinach zbiorów (przecięcia, sumy, różnice mnogościowe, iloczyn kartezjański).
Liczby zespolone (interpretacja geometryczna, sprzężenie, moduł i argument liczby zespolonej, postać trygonometryczna liczby zespolonej). Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych.
Relacje, odwzorowania. Relacje porządku, równoważności, odwzorowania, kresy na osi liczbowej. Zarys definicji liczb rzeczywistych. Złożenie, funkcje odwrotne.
Przegląd funkcji elementarnych (1). Funkcje potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne (definicje i podstawowe własności, wykresy).
Przegląd funkcji elementarnych (2). Funkcje trygonometryczne, cyklometryczne hiperboliczne i polowe (motywacja geometryczna i wzory analityczne).
Ciągi i ich granice. Ciągi jako odwzorowania, definicje rekurencyjne, granica ciągu, sposoby obliczania i twierdzenia o istnieniu.symbole nieoznaczone.
Arytmetyka granic, najważniejsze granice nieobjęte schematem takiej arytmetyki (symbole nieoznaczone). Podciągi zbieżne. Ciągi Cauchy’ego.
Granica funkcji (1). Punkty skupienia. Granica funkcji w punkcie. Operacje arytmetyczne na granicach, granica złożenia. Warunek Heinego. Granice niewłaściwe i w nieskończoności.
Granica funkcji (2). Symbole nieoznaczone - ważniejsze przykłady granic. Granice jednostronne, klasyfikacja punktów nieciągłości. Przypadek funkcji monotonicznych.
Funkcje ciągłe. Warunek Lipschitza, ciągłość funkcji odwrotnych. Podstawowe własności funkcji ciągłych na przedziale.
Pochodne Definicja i interpretacje: geometryczna i fizyczna. Pochodne sumy, iloczynu i ilorazu. Pochodne jednostronne. Przykłady. Obliczanie pochodnych. Pochodne funkcji elementarnych, ich złożeń i funkcji odwrotnych.
Zastosowania pochodnych Twierdzenia o wartości średniej monotoniczność, ekstrema lokalne. Reguła de l’Hospitala
Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora, badanie przebiegu funkcji.
Całki nieoznaczone. Całkowanie przez części i przez podstawienie, najważniejsze całki elementarne
Wybrane typy całek. Całkowanie funkcji wymiernych, funkcji trygonometrycznych i niewymiernych. Całki niewłaściwe.
ĆWICZENIA
Podstawy logiki i teorii mnogości. Zapoznanie się z podstawowymi metodami rozumowań matematycznych, dowodzenia twierdzeń. Opis zbiorów i operacji na zbiorach wyrażonych przy użyciu spójników logicznych. Weryfikacja przykładowych zdań logicznych z zastosowaniem tabelki wartościowania.
Działania na liczbach zespolonych. Rozwiązywanie równań algebraicznych w dziedzinie zespolonej. Znajdowanie postaci trygonometrycznej liczby zespolonej. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych.
Dalsze przykłady funkcji elementarnych. Definicje i badanie własności funkcji odwrotnych do trygonometrycznych i wykładniczych.
Granice ciągów. Podstawowe metody wyznaczania granic ciągów, arytmetyka granic, granice niewłaściwe
Granice funkcji. Podstawowe granice - symbole nieoznaczone.
Funkcje ciągłe. Typy nieciągłości, metody badania ciągłości. Warunek Lipschitza, ciągłość funkcji odwrotnych i funkcji elementarnych.
Pochodne funkcji jednej zmiennej. Wyprowadzenie podstawowych wzorów na pochodne. Obliczanie pochodnych iloczynów, ilorazów, złożeń i odwrotności funkcji różniczkowalnych.
Zastosowania pochodnych. Badanie monotoniczności, wyznaczanie ekstremów lokalnych funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.
Pochodne wyższych rzędów. Zastosowanie drugich pochodnych do badania wypukłości funkcji i do określenia, w których punktach osiągają one ekstrema lokalne. Wzór Taylora.
Całka nieoznaczona. Metody całkowania: przez podstawienie i przez części.
Dalsze metody całkowania. Całkowanie funkcji wymiernych. Sprowadzanie innych typów całek do całek z funkcji wymiernych.
Całka oznaczona. Geometryczna i fizyczna interpretacja całki.
Podstawowe własności całki oznaczonej, wzór Newtona-Leibniza.
Zastosowania rachunku różniczkowego i rachunku całkowego.
Kolokwia (3×1 godz. na studiach stacjonarnych, 2×1 godz. na studiach niestacjonarnych).
Teaching methods
Wykład: problemowy, konwersatoryjny, wykład z prezentacją multimedialną
Ćwiczenia audytoryjne: praca w grupach, dyskusja.
Wykład: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień. Studenci otrzymują wyprzedzająco materiały ułatwiające śledzenie treści wykładów.
Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Learning outcomes and methods of theirs verification
Outcome description
Outcome symbols
Methods of verification
The class form
Assignment conditions
1. Trzy kolokwia (dwa na studiach niestacjonarnych) z zadaniami o zróżnicowanym stopniu trudności, pozwalającymi na sprawdzenie, czy student osiągnął efekty kształcenia w stopniu minimalnym. Aby uzyskać pozytywną ocenę z ćwiczeń, należy zdobyć minimum 50% sumy punktów ze wszystkich kolokwiów.
2. Egzamin w postaci testu z progami punkowymi.
Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu. Ocena z przedmiotu jest średnią arytmetyczną oceny z ćwiczeń i oceny z egzaminu.
Recommended reading
G. Decewicz, W. Żakowski, Matematyka, Analiza matematyczna część I, WNT, Warszawa, 2005
M. Grabowski, Analiza matematyczna. Powtórzenie, ćwiczenia i zbiór zadań. WNT, Warszawa, 1997
M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Gis, Wrocław, 2007
W. Lesiński, I. Nabiałek, W. Żakowski: Matematyka, Zadania WNT, W-wa, 2009
W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I. PWN, W-wa,2015
M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych, WM, Bydgoszcz, 2010
W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, PWN, Warszawa, 1971
Further reading
R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 2004
W. Krysicki. L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach część I, PWN, Warszawa, 2008
Notes
Modified by dr Aleksandra Rzepka (last modification: 07-05-2022 13:34)
