Zapoznanie studentów z podstawowymi pojęciami z zakresu topologii algebraicznej i geometrycznej.
Prerequisites
Elementarna wiedza z zakresu topologii ogólnej.
Scope
Wykład
Grupa podstawowa
Topologia indukowana, ilorazowa i zwarto-otwarta (1 godz.)
Homotopia odwzorowań (2 godz.)
Retrakcje (1 godz.)
Konstrukcja grupy podstawowej (3 godz.)
Grupa podstawowa iloczynu kartezjańskiego (1godz.)
Sympleksy i kompleksy symplicjalne (2 godz.)
Obliczanie grupy podstawowej (grupa krawędziowa) (2 godz.)
Grupa podstawowa okręgu, torusa, sfery, płaszczyzny rzutowej (2 godz.)
Twierdzenie Jordana o łamanej (dowód), twierdzenie Schoenfliesa dla łamanych (3 godz.)
Topologia w sztuce – sfera Alexandera, jeziora Wady, sztuka M.C. Ecshera (2 godz.)
Twierdzenie klasyfikacyjne powierzchni
Powierzchnie (1/2 godz.)
Wielościany (1/2 godz. )
Triangulacja powierzchni (1 godz.)
Dowód twierdzenia klasyfikacyjnego (2 godz. )
Twierdzenie Borsuka-Ulama
Równoważne formy twierdzenia Borsuka-Ulama (2 godz.)
Lemat Tuckera i dowód twierdzenia Borsuka-Ulama (2 godz.)
Twierdzenie o kanapkach (wraz z dowodem) (2 godz.)
Twierdzenia o sprawiedliwym podziale (1 godz.)
Dowód twierdzenia Brouwera o punkcie stałym w oparciu o twierdzenie Borsuka-Ulama (1 godz.)
Informacje na temat lematu Spernera (1/2 godz.)
Informacje na temat topologii różniczkowej i twierdzenia o zaczesywaniu sfery wymiaru parzystego
Stopień odwzorowania (1 godz.)
Ćwiczenia
Topologie
Zadania dotyczące topologii (1 godz.)
Przykłady (1 godz.)
Homotopie
Sprawdzanie homotopijności odwzorowań (1 godz.)
Zadania dotyczące klas abstrakcji homotopii (2 godz.)
Zadania dotyczące konstrukcji grupy podstawowej (3 godz.)
Zadania dotyczące ściągalności (1 godz.)
Obliczanie grupy podstawowej (3 godz.)
Twierdzenie klasyfikacyjne
Klasyfikowanie wybranych powierzchni w oparciu o dowód twierdzenia klasyfikacyjnego (2 godz.)
Wyznaczanie triangulacji wybranych powierzchni (1 godz.)
Twierdzenie Borsuka-Ulama
Dowody wybranych form równoważnych (3 godz.)
Twierdzenie o kanapkach w niskich wymiarach (1 godz.)
Zadania wykorzystujące twierdzenie Borsuka-Ulama (2 godz.)
Dowód lematu Spernera (2 godz.)
Zadania o sprawiedliwym podziale (2 godz.)
Twierdzenie o zaczesywaniu sfery wymiaru parzystego (1 godz.)
Zaliczenia (kolokwia i referaty) (4 godz.)
Teaching methods
Wykład konwencjonalny z naciskiem na wspólne dyskutowanie omawianych problemów. Na ćwiczeniach studenci wspólnie rozwiązują zadania (na ogół podane z tygodniowym wyprzedzeniem). Preferowane są dyskusje przy tablicy z udziałem wielu studentów. Zakłada się stały dostęp do sieci (wszelkie przykłady, zwłaszcza grafika, animacje).
Learning outcomes and methods of theirs verification
Outcome description
Outcome symbols
Methods of verification
The class form
Assignment conditions
Warunkiem zaliczenia ćwiczeń jest pozytywna ocena z kolokwium. Dopuszcza się wygłoszenie referatu na temat topologii. Temat ma być wybrany samodzielnie przez studenta. Referaty mogą być opracowane przez grupę dwóch, trzech studentów. Temat referatu musi być zaakceptowany przez ogół studentów i prowadzącego ćwiczenia.
Egzamin jest w formie pisemnej z możliwością dyskusji rozwiązań między egzaminatorem, a egzaminowanym studentem.
Na ocenę z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (40%) oraz ocena z egzaminu (60%). Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu.
Recommended reading
Roman Duda, Wprowadzenie do topologii I, II, PWN, 1986.
Jiri Matousek, Using the Borsuk-Ulam theorem, Springer, 2003.
Further reading
Jerzy Mioduszewski, Wykłady z topologii, Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994.
John Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, 1997.
Notes
Modified by dr Alina Szelecka (last modification: 19-05-2022 21:45)
