Zapoznanie studenta z podstawowymi pojęciami analizy matematycznej: zbieżność ciągu liczbowego; zbieżność szeregu liczbowego; granica, ciągłość i pochodna funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej, a także ze związkami między tymi pojęciami. Kolejnym celem jest zaznajomienie studenta z podstawowymi pojęciami rachunku całkowego funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej.
Wymagania wstępne
Znajomość matematyki w zakresie szkoły średniej.
Zakres tematyczny
Wykład
Pojęcie ciągu liczbowego i jego podstawowe własności: monotoniczność i ograniczoność.
Granica ciągu liczbowego i jej własności: jednoznaczność granicy; zbieżność ciągu a jego ograniczoność; działania na granicach ciągów; twierdzenie o trzech ciągach; zbieżność ciągu monotonicznego i ograniczonego; liczba Eulera; granica w sensie niewłaściwym; podciąg i jego granica; granice ekstremalne ciągu liczbowego.
Szeregi liczbowe: zbieżność szeregu, kryteria zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach dodatnich, własności szeregów o wyrazach dowolnych.
Granica funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej: granice jednostronne funkcji w punkcie; granice nieskończone i w nieskończoności; podstawowe własności granic funkcji.
Ciągłość funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej: ciągłość funkcji w punkcie i w zbiorze; klasyfikacja punktów nieciągłości; własności funkcji ciągłych; twierdzenie Weierstrassa; twierdzenie Darboux.
Pochodna funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej: definicja i interpretacje pochodnej funkcji w punkcie. Różniczkowalność funkcji w zbiorze. Ciągłość a różniczkowalność. Podstawowe reguły różniczkowania, pochodne funkcji elementarnych. Twierdzenia o wartości średniej i ich zastosowania. Reguła de L`Hospitala. Pochodne i różniczki wyższych rzędów funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej. Wzór Taylora. Ekstrema lokalne i globalne funkcji. Wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia wykresu funkcji.
Całka nieoznaczona funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej. Podstawowe metody wyznaczania całek nieoznaczonych. Całka oznaczona Riemanna i jej własności. Podstawowe twierdzenia rachunku całkowego. Szacowanie całek oznaczonych. Zastosowania geometryczne i fizyczne całki Riemanna (pole figury płaskiej, długość krzywej, objętość i pole powierzchni bryły obrotowej, praca, energia elektryczna, napięcie). Całki niewłaściwe.
Ćwiczenia
Badanie monotoniczności i ograniczoności ciągu liczbowego.
Wyznaczanie granicy ciągu liczbowego.
Badanie zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich w oparciu o odpowiednie kryteria zbieżności.
Obliczanie granicy funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej.
Badanie ciągłości funkcji w punkcie i w zbiorze.
Badanie różniczkowalności funkcji w punkcie.
Wyznaczanie pochodnej funkcji w oparciu o podstawowe reguły różniczkowania.
Wyznaczanie ekstremów lokalnych i globalnych funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej.
Obliczanie granicy funkcji przy pomocy reguły de L’Hospitala.
Obliczanie całek nieoznaczonych.
Obliczanie całek oznaczonych i całek niewłaściwych.
Zastosowania rachunku różniczkowego i rachunku całkowego
Kolokwia. (3×1 godz. na studiach stacjonarnych, 2×1 godz. na studiach niestacjonarnych)
Metody kształcenia
Wykład konwencjonalny; ćwiczenia, w ramach których studenci rozwiązują zadania i dyskutują; praca w grupach; praca z książką.
Efekty uczenia się i metody weryfikacji osiągania efektów uczenia się
Opis efektu
Symbole efektów
Metody weryfikacji
Forma zajęć
Warunki zaliczenia
Ćwiczenia: Trzy kolokwia (dwa na studiach niestacjonarnych) z zadaniami o zróżnicowanym stopniu trudności, pozwalającymi na sprawdzenie, czy student osiągnął efekty kształcenia w stopniu minimalnym. Na ocenę z ćwiczeń składają się wyniki osiągnięte na kolokwiach (80 %) oraz przygotowanie do zajęć i aktywność w czasie zajęć (20 %).
Warunkiem koniecznym i dostatecznym uzyskania zaliczenia z ćwiczeń jest zgromadzenie 50 % maksymalnej liczby punktów, jaką można zdobyć z kolokwiów cząstkowych i aktywności na zajęciach. (W razie potrzeby wykładowca może zmienić warunki zaliczenia ćwiczeń.)
Wykład: Egzamin w postaci testu z progami punktowymi (w razie potrzeby wykładowca może zmienić formę egzaminu). Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest pozytywna ocena z ćwiczeń.
Zaliczenie przedmiotu: Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest pozytywna ocena z egzaminu. Ocena z przedmiotu jest średnią arytmetyczną oceny z ćwiczeń i oceny z egzaminu.
Literatura podstawowa
J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2012.
G. Decewicz, W. Żakowski, Matematyka, Analiza matematyczna część I, WNT Warszawa, 2005
M. Grabowski, Analiza matematyczna. Powtórzenie, ćwiczenia i zbiór zadań. WNT, Warszawa, 1997
M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Oficyna Wydawnicza Gis, Wrocław, 2007
M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych, WM, Bydgoszcz, 2010
W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1971
Literatura uzupełniająca
R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2004
W. Krysicki. L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2004
Uwagi
Zmodyfikowane przez dr Dorota Głazowska (ostatnia modyfikacja: 23-03-2023 21:46)
Ta strona używa ciasteczek (cookies), dzięki którym nasz serwis może działać lepiej. Korzystając z niniejszej strony, wyrażasz zgodę na ich używanie. Dowiedz się więcej.
